MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 134

Składowa przekątnej prostopadłościanu prostopadła do wybranej ściany bocznej ma długość równą bokowi podstawy, czyli $6\ \mathrm{cm}$. Jeżeli $d$ jest długością przekątnej, to

$\sin30^\circ=\frac6d.$

Stąd $\frac12=\frac6d$ i $d=12\ \mathrm{cm}$.

Bok rombu jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych $\frac32$ i $2$, więc

$a=\sqrt{\left(\frac32\right)^2+2^2}=\frac52.$

Przekątna ściany bocznej ma długość $\sqrt7$, zatem wysokość graniastosłupa spełnia

$H^2+\left(\frac52\right)^2=7,$

czyli $H=\frac{\sqrt3}{2}$. Pole rombu wynosi $\frac{3\cdot4}{2}=6$, a jego obwód $10$. Ostatecznie

$P_c=2\cdot6+10\cdot\frac{\sqrt3}{2}=12+5\sqrt3.$

Rzut krawędzi bocznej na podstawę łączy środek kwadratu z jego wierzchołkiem i ma długość połowy przekątnej, czyli $3\sqrt2$. Kąt między krawędzią a podstawą ma $45^\circ$, więc wysokość ostrosłupa także wynosi $3\sqrt2$. Zatem

$V=\frac13\cdot6^2\cdot3\sqrt2=36\sqrt2.$

Przekrój jest prostokątem. Jeden jego bok jest krawędzią podstawy długości $3$, a drugi ma długość

$l=\sqrt{3^2+H^2},$

gdzie $H$ jest wysokością graniastosłupa. Kąt przekroju ze ścianą boczną spełnia

$\cos\alpha=\frac{H}{l}=0{,}8.$

Z równań $l^2=H^2+9$ i $H=0{,}8l$ otrzymujemy $l=5$. Pole przekroju jest więc równe

$P=3\cdot5=15\ \mathrm{cm}^2.$

Sześciokąt foremny o boku $2$ składa się z sześciu trójkątów równobocznych o boku $2$, zatem

$P_p=6\cdot\frac{2^2\sqrt3}{4}=6\sqrt3\ \mathrm{cm}^2.$

Pole podstawy jest dwa razy mniejsze od pola bocznego, więc $P_b=12\sqrt3\ \mathrm{cm}^2$. Stąd

$P_c=P_p+P_b=18\sqrt3\ \mathrm{cm}^2.$

Niech krawędź sześcianu ma długość $a$. Z rysunku: $M$ jest środkiem $AB$, a $P$ środkiem $A_1D_1$. Przyjmijmy

$M=\left(\frac a2,0,0\right),\qquad P=\left(0,\frac a2,a\right).$

Wektor $\overrightarrow{MP}$ ma więc składowe $\left(-\frac a2,\frac a2,a\right)$ i długość

$|MP|=a\sqrt{\frac14+\frac14+1}=\frac{a\sqrt6}{2}.$

Składowa prostopadła do podstawy ma długość $a$, dlatego

$\sin\gamma=\frac{a}{|MP|}=\frac{\sqrt6}{3}.$

Z pola równobocznej podstawy

$\frac{a^2\sqrt3}{4}=16\sqrt3$

wynika $a=8$. Ściany boczne są równoramiennymi trójkątami prostokątnymi, więc ich przyprostokątne — krawędzie boczne — mają długość $\frac{8}{\sqrt2}=4\sqrt2$. Pole jednej ściany bocznej wynosi zatem

$\frac12(4\sqrt2)^2=16\ \mathrm{cm}^2.$

Płaszczyzna równoległa do dwóch krawędzi bocznych jest równoległa do odpowiedniej ściany bocznej. Przechodząc przez środek trzeciej krawędzi, wycina trójkąt podobny w skali $\frac12$, a więc o polu cztery razy mniejszym:

$P=\frac14\cdot16=4\ \mathrm{cm}^2.$