MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 28 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Miejsca zerowe sinusa to $x=k\pi$ . Zliczamy wielokrotności $\pi$ należące do każdego przedziału; w d mamy $10\pi<32<11\pi$ .

Odpowiedź

a) $3$ . b) $5$ . c) $5$ . d) $10$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

4 podpunkty

zweryfikowane skanem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Miejsca zerowe cosinusa mają postać $x=\pi/2+k\pi$ . Wybieramy je z podanych przedziałów, pamiętając o otwartych końcach w d.

Odpowiedź

a) $\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}$ . b) $-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}$ . c) $-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},\frac{5\pi}{2}$ . d) $-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zweryfikowane skanem

Zadanie 3

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Na sinusoidzie w $[-2\pi,2\pi]$ znak dodatni występuje nad osią, a monotoniczność zmienia się w ekstremach $-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}$ .

Odpowiedź

a) $(-2\pi,-\pi)\cup(0,\pi)$ . b) $[-2\pi,-\frac{3\pi}{2}]\cup[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\cup[\frac{3\pi}{2},2\pi]$ . c) $[-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}]\cup[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

3 podpunkty

zweryfikowane skanem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Na cosinusoidzie w $[-\pi,3\pi]$ zera leżą w punktach $-\pi/2,\pi/2,3\pi/2,5\pi/2$ , a monotoniczność zmienia się w wielokrotnościach $\pi$ .

Odpowiedź

a) $[-\pi,-\frac{\pi}{2})\cup(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2})\cup(\frac{5\pi}{2},3\pi]$ . b) $[-\pi,0]\cup[\pi,2\pi]$ . c) $[0,\pi]\cup[2\pi,3\pi]$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zweryfikowane skanem

Zadanie 5

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Liczymy przecięcia poziomej prostej $y=m$ z dwiema pełnymi sinusoidami lub cosinusoidami, osobno traktując poziomy $-1,0,1$ oraz otwarte końce przedziałów.

Odpowiedź

a) Dla $|m|>1$ : $0$ ; dla $m=\pm1$ : $2$ ; dla $-1<m<1$ , $m\ne0$ : $4$ ; dla $m=0$ : $5$ .

b) Dla $|m|>1$ : $0$ ; dla $m=\pm1$ : $2$ ; dla $-1<m<1$ , $m\ne0$ : $4$ ; dla $m=0$ : $3$ .

c) Dla $|m|>1$ : $0$ ; dla $m=-1$ : $2$ ; dla $m=1$ : $3$ ; dla $-1<m<1$ : $4$ .

d) Dla $|m|>1$ : $0$ ; dla $m=-1$ : $1$ ; dla $m=1$ : $2$ ; dla $-1<m<1$ : $4$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 6

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozwiązania zapisujemy jako $x=2k\pi\pm\alpha$ i wybieramy te z $[-3\pi,3\pi]$ , gdzie $\alpha$ jest kątem odniesienia.

Odpowiedź

a) $-\frac{13\pi}{6},-\frac{11\pi}{6},-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6},\frac{11\pi}{6},\frac{13\pi}{6}$ .

b) $-\frac{17\pi}{6},-\frac{7\pi}{6},-\frac{5\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6},\frac{17\pi}{6}$ .

c) $-\frac{9\pi}{4},-\frac{7\pi}{4},-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4},\frac{7\pi}{4},\frac{9\pi}{4}$ .

d) $-\frac{11\pi}{4},-\frac{5\pi}{4},-\frac{3\pi}{4},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{11\pi}{4}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) W każdym okresie $[2k\pi,2(k+1)\pi]$ rozwiązania mają sumę $4k\pi+\pi$ . Dla $k=0,1,2$ łączna suma to $15\pi$ .

b) Przedział jest symetryczny, a cosinus parzysty. Każdemu dodatniemu rozwiązaniu odpowiada ujemne, więc suma wynosi $0$ .

Odpowiedź

a) $15\pi$ . b) $0$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 7

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Punkt $P=(\cos x,\sin x)$ porusza się po okręgu jednostkowym. Dla kolejnych argumentów $x$ przenosimy jego rzędną $\sin x$ na układ, w którym oś pozioma przedstawia kąt. Ciąg punktów $(x,\sin x)$ tworzy sinusoidę; po pełnym obrocie sytuacja powtarza się co $2\pi$ .

Odpowiedź

Sinusoida jest wykresem wysokości punktu na okręgu jednostkowym w zależności od przebytego kąta; jej okres podstawowy wynosi $2\pi$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu