MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 259 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Różniczkujemy każdy składnik, a następnie podstawiamy $0$ i $1$ .

a)

f'(x)=-6x+1,\qquad f'(0)=1,\qquad f'(1)=-5.

b)

f'(x)=8x-5,\qquad f'(0)=-5,\qquad f'(1)=3.

c)

f'(x)=6x^2+4,\qquad f'(0)=4,\qquad f'(1)=10.

d)

f'(x)=8x^3-3x^2+6,\qquad f'(0)=6,\qquad f'(1)=11.

e)

f'(x)=-x^3+x^2-x,\qquad f'(0)=0,\qquad f'(1)=-1.

f)

f'(x)=-x^4+2x^3-3,\qquad f'(0)=-3,\qquad f'(1)=-2.

Odpowiedź

a) $f'(x)=-6x+1$ , $f'(0)=1$ , $f'(1)=-5$ .

b) $f'(x)=8x-5$ , $f'(0)=-5$ , $f'(1)=3$ .

c) $f'(x)=6x^2+4$ , $f'(0)=4$ , $f'(1)=10$ .

d) $f'(x)=8x^3-3x^2+6$ , $f'(0)=6$ , $f'(1)=11$ .

e) $f'(x)=-x^3+x^2-x$ , $f'(0)=0$ , $f'(1)=-1$ .

f) $f'(x)=-x^4+2x^3-3$ , $f'(0)=-3$ , $f'(1)=-2$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Stosujemy regułę iloczynu, a wyniki porządkujemy według potęg $x$ .

a)

f'(x)=2(x+3)+(2x-1)=4x+5.

b)

f'(x)=2x(x^2+2)+2x(x^2-1)=4x^3+2x.

c)

\begin{aligned} f'(x) &=-6x(x^2+x)+(1-3x^2)(2x+1)\\ &=-12x^3-9x^2+2x+1. \end{aligned}

d)

\begin{aligned} f'(x) &=3x^2(2x^2-5)+4x(x^3-1)\\ &=10x^4-15x^2-4x. \end{aligned}

e)

\begin{aligned} f'(x) &=(3x^2+4x)(x^2-x+1) +(x^3+2x^2+1)(2x-1)\\ &=5x^4+4x^3-3x^2+6x-1. \end{aligned}

f)

\begin{aligned} f'(x) &=2(x-2)(1-x^2)-2x(x-2)^2\\ &=-4x^3+12x^2-6x-4. \end{aligned}

Odpowiedź

a) $f'(x)=4x+5$ .

b) $f'(x)=4x^3+2x$ .

c) $f'(x)=-12x^3-9x^2+2x+1$ .

d) $f'(x)=10x^4-15x^2-4x$ .

e) $f'(x)=5x^4+4x^3-3x^2+6x-1$ .

f) $f'(x)=-4x^3+12x^2-6x-4$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 3

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Korzystamy z reguły iloczynu albo najpierw zapisujemy pierwiastki jako potęgi.

a) Dla $x>0$ :

f(x)=2x^{3/2}-4x^3+2, \qquad f'(x)=3\sqrt{x}-12x^2.

b) Dla $x>0$ :

f(x)=-4x^{13/2}+6x^2, \qquad f'(x)=-26x^5\sqrt{x}+12x.

c)

\begin{aligned} f'(x) &=6x^2(x^4+x)+(2x^3-4)(4x^3+1)\\ &=14x^6-8x^3-4. \end{aligned}

d)

\begin{aligned} f'(x) &=(3x^2+2x)(4x^4-x^2) +(x^3+x^2-4)(16x^3-2x)\\ &=28x^6+24x^5-5x^4-68x^3+8x. \end{aligned}

e) Dla $x>0$ :

f(x)=3x^{11/2}-x^{5/2}, \qquad f'(x)=\frac{33}{2}x^4\sqrt{x}-\frac52x\sqrt{x}.

f) Dla $x>0$ :

f(x)=x^{9/2}+4x, \qquad f'(x)=\frac92x^3\sqrt{x}+4.

Odpowiedź

a) $f'(x)=3\sqrt{x}-12x^2$ dla $x>0$ .

b) $f'(x)=-26x^5\sqrt{x}+12x$ dla $x>0$ .

c) $f'(x)=14x^6-8x^3-4$ .

d) $f'(x)=28x^6+24x^5-5x^4-68x^3+8x$ .

e) $f'(x)=\frac{33}{2}x^4\sqrt{x}-\frac52x\sqrt{x}$ dla $x>0$ .

f) $f'(x)=\frac92x^3\sqrt{x}+4$ dla $x>0$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 4

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Stosujemy wzór na pochodną ilorazu.

a) Mianownik jest dodatni dla każdego $x\in\mathbb R$ , a

f'(x)= \frac{2x(x^2+2)-x^2\cdot2x}{(x^2+2)^2} =\frac{4x}{(x^2+2)^2}.

b) Dziedzina funkcji to $\mathbb R\setminus\{-2,2\}$ . Dla argumentów z tej dziedziny

\begin{aligned} f'(x) &=\frac{(2x-2)(x^2-4)-(x^2-2x)\cdot2x}{(x^2-4)^2}\\ &=\frac{2(x-2)^2}{(x-2)^2(x+2)^2} =\frac2{(x+2)^2}. \end{aligned}

Wykluczenie $x=2$ pozostaje mimo skrócenia czynnika.

c) Mamy

D_f=[0;1)\cup(1;\infty).

Dla $x>0$ i $x\ne1$ :

f'(x)= \frac{1-\sqrt{x}+x\frac1{2\sqrt{x}}}{(1-\sqrt{x})^2} =\frac{1-\frac12\sqrt{x}}{(1-\sqrt{x})^2}.

Odpowiedź

a) $f'(x)=\frac{4x}{(x^2+2)^2}$ dla $x\in\mathbb R$ .

b) $f'(x)=\frac2{(x+2)^2}$ dla $x\in\mathbb R\setminus\{-2,2\}$ .

c) $f'(x)=\frac{1-\frac12\sqrt{x}}{(1-\sqrt{x})^2}$ dla $x\in(0;1)\cup(1;\infty)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 5

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Traktujemy $\frac1{g(x)}$ jako iloraz funkcji stałej $1$ przez $g$ . Z założeń wynika, że można zastosować wzór na pochodną ilorazu:

\left(\frac1{g(x)}\right)' =\frac{0\cdot g(x)-1\cdot g'(x)}{(g(x))^2} =-\frac{g'(x)}{(g(x))^2}.

Otrzymaliśmy dokładnie tezę.

Odpowiedź

\left(\frac1{g(x)}\right)'=-\frac{g'(x)}{(g(x))^2}.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Ćwiczenie 6

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Korzystamy ze wzoru

\left(\frac1{g(x)}\right)'=-\frac{g'(x)}{(g(x))^2}.

a) Dla $x\ne0$ :

f'(x)=-\frac{4x^3}{x^8}=-\frac4{x^5}.

b) Ponieważ $4x^2+3>0$ dla każdego $x\in\mathbb R$ ,

f'(x)=-\frac{8x}{(4x^2+3)^2}.

c) Funkcja jest określona dla $x\in[0;4)\cup(4;\infty)$ . Dla $x>0$ , $x\ne4$ :

\begin{aligned} f'(x) &=-\frac{(2\sqrt{x}-4)'}{(2\sqrt{x}-4)^2}\\ &=-\frac1{\sqrt{x}(2\sqrt{x}-4)^2} =-\frac1{4\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)^2}. \end{aligned}

Odpowiedź

a) $f'(x)=-\frac4{x^5}$ dla $x\ne0$ .

b) $f'(x)=-\frac{8x}{(4x^2+3)^2}$ dla $x\in\mathbb R$ .

c) $f'(x)=-\frac1{4\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)^2}$ dla $x\in(0;4)\cup(4;\infty)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem