Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 258

rozdział 4. Rachunek rozniczkowy · temat „*4.10. Działania na pochodnych” · 2 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Ćwiczenie 1

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Stosujemy wzór $(cx^a)'=ca x^{a-1}$ .

f'(x)=12\cdot3x^2=36x^2.

f'(x)=0{,}5\cdot6x^5=3x^5.

f'(x)=4\cdot7x^6=28x^6.

d) Dla $x\ne0$ :

f'(x)=6\cdot(-1)x^{-2}=-6x^{-2}.

e) Dla $x\ne0$ :

f'(x)=2\cdot(-6)x^{-7}=-12x^{-7}.

f) Zapisujemy pierwiastek jako potęgę. Dla $x>0$ :

f'(x)=\frac12\left(x^{1/4}\right)' =\frac12\cdot\frac14x^{-3/4} =\frac18x^{-3/4}.

Odpowiedź

a) $f'(x)=36x^2$ ; b) $f'(x)=3x^5$ ; c) $f'(x)=28x^6$ ; d) $f'(x)=-6x^{-2}$ dla $x\ne0$ ; e) $f'(x)=-12x^{-7}$ dla $x\ne0$ ; f) $f'(x)=\frac18x^{-3/4}$ dla $x>0$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 2

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Różniczkujemy każdy składnik osobno.

f'(x)=2\cdot4x^3-3\cdot2x=8x^3-6x.

f'(x)=\frac15\cdot5x^4+3\cdot4x^3-7\cdot2x =x^4+12x^3-14x.

c) Dla $x>0$ :

f'(x)=\frac3{2\sqrt{x}}-12x^2.

d) Dziedzina funkcji wymusza $x>0$ . Mamy

\begin{aligned} f'(x) &=\left(\frac12x^6\right)' -\left(\frac12x^{-1}\right)' -2(\sqrt{x})'\\ &=3x^5+\frac1{2x^2}-\frac1{\sqrt{x}}. \end{aligned}

Odpowiedź

a) $f'(x)=8x^3-6x$ .

b) $f'(x)=x^4+12x^3-14x$ .

c) $f'(x)=\frac3{2\sqrt{x}}-12x^2$ dla $x>0$ .

d) $f'(x)=3x^5+\frac1{2x^2}-\frac1{\sqrt{x}}$ dla $x>0$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem