MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 256

Korzystamy ze wzorów

$$(x^3)'=3x^2,\qquad \left(\frac1x\right)'=-\frac1{x^2},\qquad (\sqrt{x})'=\frac1{2\sqrt{x}}.$$

a) Dla $f'(x)=3x^2$ otrzymujemy

$$f'(-5)=3\cdot(-5)^2=75.$$

b) Ponieważ $\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2=\frac12$, mamy

$$f'\left(\frac{\sqrt2}{2}\right) =-\frac1{\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2}=-2.$$

c) Liczba mieszana $1\frac9{16}$ jest równa $\frac{25}{16}$, więc

$$f'\left(\frac{25}{16}\right) =\frac1{2\sqrt{25/16}} =\frac1{2\cdot\frac54}=\frac25.$$

a) Dla $f(x)=x^2$ mamy $f'(x)=2x$. Zatem

$$2x=2,$$

czyli $x=1$.

b) Dla $x>0$ zachodzi

$$f'(x)=\frac1{2\sqrt{x}}.$$

Równanie $f'(x)=2$ ma więc postać

$$\frac1{2\sqrt{x}}=2.$$

Stąd $4\sqrt{x}=1$, zatem $\sqrt{x}=\frac14$ i

$$x=\frac1{16}.$$

c) Dla $x\ne0$ mamy $f'(x)=-\frac1{x^2}<0$. Nie może więc zachodzić $f'(x)=2$; równanie jest sprzeczne.