MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 228

Dla $x<0$ obowiązuje pierwszy wzór, a dla $x>0$ drugi. Dlatego

$$\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}(x^2+2)=2, \qquad \lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}(1-x^2)=1.$$

Granice jednostronne są różne, więc granica obustronna nie istnieje.

Wykres składa się z poziomej półprostej $y=-1$ dla $x<0$, punktu $(0,0)$ oraz poziomej półprostej $y=1$ dla $x>0$. Stąd

$$\lim_{x\to0^-}\operatorname{sgn}(x)=-1,\qquad \lim_{x\to0^+}\operatorname{sgn}(x)=1.$$

Wartość funkcji w samym punkcie nie zmienia tego wniosku.

Odczytujemy ze skanu wysokości, do których zbliża się wykres z lewej i z prawej strony.

a) Dla $x_0=-1$ granice jednostronne wynoszą odpowiednio $-1$ i $0$.

b) Dla $x_0=1$ lewa gałąź zmierza do $2$, a prawa do $3$. Dodatkowy punkt przy $x=-2$ nie zmienia granicy, bo obie strony wykresu zmierzają tam do tej samej wartości.

c) Skoki występują dla $x_0=-1$ (wartości graniczne $1$ i $-2$) oraz dla $x_0=2$ (wartości $1$ i $-1$). Dziura i osobny punkt przy $x=1$ nie niszczą granicy obustronnej.

Wielomiany są ciągłe, zatem wystarcza podstawienie:

$$\lim_{x\to1}(2x+4)=2+4=6,$$ $$\lim_{x\to2}(4x^2-10)=4\cdot4-10=6.$$

Wybieramy dwa ciągi argumentów zbieżne do zera:

$$x_n=\frac1{\pi/2+2\pi n},\qquad y_n=\frac1{3\pi/2+2\pi n}.$$

Wtedy $x_n\to0$, $y_n\to0$, lecz

$$\sin\frac1{x_n}=1,\qquad \sin\frac1{y_n}=-1.$$

Wartości funkcji w dowolnie małym otoczeniu zera mają więc dwa różne ciągi graniczne.