MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 206

O granicy wielomianu decyduje składnik najwyższego stopnia. W e) mamy $-n^3(6n-n^2)=n^5-6n^4$, a w f) składnik wiodący iloczynu $n(1-n)(2-n^2)$ jest równy $n^4$.

Porównujemy najwyższe potęgi w liczniku i mianowniku, uwzględniając znak. Ilorazy są równoważne kolejno $2n$, $-n$, $-n^2$, $n^2$, $-n/6$, $n/8$, $-18n$, $-n$ i $5n$.

W każdej sumie wygrywa potęga o największej podstawie; jej współczynnik wyznacza znak granicy.

Dzielimy przez dominującą potęgę w mianowniku.

a) Iloraz zachowuje się jak $4^n/2^n=2^n$.

b) Zachowuje się jak $-6^n/4^n=-(3/2)^n$.

c) Zachowuje się jak $-3\cdot8^n/2^n=-3\cdot4^n$.

Usuwamy niewymierność przez pomnożenie przez wyrażenie sprzężone.

a) $a_n=1/(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1})\to0$.

b) $a_n=(n-6)/(\sqrt{4n-1}+\sqrt{3n+5})\to+\infty$.

c) $a_n=n/(\sqrt{4n^2+n}+2n)\to1/4$.

d) $a_n=n/(n+\sqrt{n^2-n})\to1/2$.

e) Po wyłączeniu $n$ otrzymujemy wzrost jak $(\sqrt2-1)n$.

f) $a_n=2n/(\sqrt{6n^2+n}+\sqrt{6n^2-n})\to1/\sqrt6$.