MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 18 — rozwiązania zadań

Zadanie 4

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dla $P=(3,3\sqrt3)$ mamy $\tg\alpha=\sqrt3$ i obie współrzędne dodatnie, więc podstawowy kąt to $60^\circ$ . Dobieramy pełne obroty do podanych przedziałów.

Odpowiedź

a) $60^\circ$ . b) $1140^\circ$ . c) $-300^\circ$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Punkt $(-\sqrt3,1)$ wyznacza kierunek $150^\circ$ . Sprawdzamy przystawanie każdej miary do $150^\circ$ modulo $360^\circ$ .

Odpowiedź

a–e) Tak. f) Nie, bo $-1210^\circ\equiv230^\circ\pmod{360^\circ}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

12 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Redukujemy każdą miarę modulo $360^\circ$ i odczytujemy wartość szczególną z okręgu jednostkowego.

Odpowiedź

a) $\frac12$ , b) $\frac{\sqrt2}{2}$ , c) $\frac{\sqrt3}{2}$ , d) $\sqrt3$ , e) $\frac12$ , f) $\sqrt3$ , g) $1$ , h) $-1$ , i) $0$ , j) $1$ , k) $-1$ , l) $0$ , m) $-1$ , n) $-\frac{\sqrt2}{2}$ , o) $-\frac{\sqrt2}{2}$ , p) $\sqrt3$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 7

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Zapisujemy rozwiązania dla kąta szczególnego i dodajemy pełne obroty, po czym wybieramy jedyne rozwiązanie z zadanego przedziału.

Odpowiedź

a) $390^\circ$ . b) $1110^\circ$ . c) $780^\circ$ . d) $495^\circ$ . e) $870^\circ$ . f) $-300^\circ$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 8

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Na okręgu jednostkowym sinus jest zerem na osi $OX$ , cosinus na osi $OY$ . Tangens ma zera tam, gdzie sinus, a cotangens tam, gdzie cosinus, z uwzględnieniem dziedzin.

Odpowiedź

Dla $k\in\mathbb Z$ : a) $\alpha=180^\circ k$ ; b) $\alpha=90^\circ+180^\circ k$ ; c) $\alpha=180^\circ k$ ; d) $\alpha=90^\circ+180^\circ k$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 9

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Prosta $y=-x$ wyznacza kierunki $135^\circ$ i $315^\circ$ ; w przedziale dochodzi jeszcze $495^\circ$ . Suma to $945^\circ$ . Prosta $y=\sqrt3x$ wyznacza $60^\circ$ i $240^\circ$ ; dochodzi $420^\circ$ , więc suma wynosi $720^\circ$ .

Odpowiedź

a) $945^\circ$ . b) $720^\circ$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 10

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Sumujemy $\cos(k\cdot30^\circ)$ dla $k=1,\ldots,30$ . Dwa pełne bloki po $12$ kolejnych wartościach mają sumę $0$ . Pozostałe kąty $30^\circ,\ldots,180^\circ$ dają $\sqrt3/2+1/2+0-1/2-\sqrt3/2-1=-1$ .

Odpowiedź

Tak. Wartość wyrażenia wynosi $-1$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 11

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

W godzinę koniec wskazówki zatacza okrąg długości $2\pi r=20\pi$ cm. Mnożymy tę drogę przez liczbę godzin: $250/60$ , $24$ oraz $365\cdot24$ .

Odpowiedź

a) $20\pi$ cm. b) $\frac{250\pi}{3}$ cm. c) $480\pi$ cm. d) $175200\pi$ cm dla 365 dni albo $175680\pi$ cm dla roku przestępnego.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 12

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Promień ruchu końca wskazówki godzinowej stanowi $75\%$ promienia minutowej, a jej prędkość kątowa jest $12$ razy mniejsza. Stosunek dróg w tym samym czasie wynosi zatem $(3/4)/12=1/16$ .

Odpowiedź

$36/16=2{,}25$ cm.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem