MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 165

Korzystamy ze wzoru $a_n=a_1+(n-1)r$.

a) $a_1=2$, $r=2$, zatem $a_n=2n$.

b) $a_1=4$, $r=\frac12$, zatem $a_n=4+\frac{n-1}{2}=\frac n2+\frac72$.

c) $a_1=3$, $r=-1$, zatem $a_n=3-(n-1)=4-n$.

Z równania $a_k=a_1+(k-1)r$ wyznaczamy $r$, a potem podstawiamy go do wzoru ogólnego.

a) $4+3r=10$, więc $r=2$.

b) $-5+5r=20$, więc $r=5$.

c) $5+9r=\frac{11}{4}$, więc $r=-\frac14$.

Obliczamy $r=a_2-a_1$. Znak różnicy rozstrzyga o monotoniczności, a $a_n=a_1+(n-1)r$ daje wzór ogólny.

a) $r=-6<0$.

b) $r=\frac34>0$.

c) $r=0$.

Trzy liczby są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, gdy $b-a=c-b$.

a) $k-2=2k-7$, skąd $k=5$.

b) $k^2-1=2k+2$, czyli $k^2-2k-3=(k-3)(k+1)=0$.

W każdym podpunkcie obie początkowe różnice są równe. Dodajemy tę różnicę jeszcze dwa razy, a jej znak służy do zbadania monotoniczności.

a) $r=m+2$.

b) $r=\frac m2-3$.

c) $r=m^2-1$.

d) $r=m-m^2=m(1-m)$.