MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 111

a) Po podstawieniu $y=\frac43x$ otrzymujemy $x^2+\frac{16}{9}x^2=25,$ stąd $x=\pm3$ i odpowiednio $y=\pm4$.

b) Równanie $x^2+(x-4)^2=8$ ma postać $2(x-2)^2=0$. Dostajemy punkt $(2,-2)$.

c) Po podstawieniu $y=5-x$ mamy $x^2+(7-x)^2=9$. Wyróżnik otrzymanego równania jest ujemny, więc brak rozwiązań.

a) Z równania $x^2+(-x-6)^2=20$ dostajemy $x=-2$ lub $x=-4$. Końce cięciwy to $(-2,-4)$ i $(-4,-2)$, zatem $|AB|=\sqrt{2^2+(-2)^2}=2\sqrt2.$

b) Równanie $x^2+(3x-10)^2=20$ daje $x=2$ lub $x=4$. Punkty przecięcia to $(2,-4)$ i $(4,2)$, więc

Po podstawieniu $y=\frac12x-\frac52$ do równania okręgu mamy $x^2+\left(\frac{x-5}{2}\right)^2=10,$ czyli $x=-1$ lub $x=3$. Są to punkty $(-1,-3)$ i $(3,-1)$. Środek okręgu jest środkiem kwadratu, więc dwa przeciwległe wierzchołki otrzymujemy przez zmianę znaków współrzędnych.

Środek okręgu to $S=(2,0)$, a promień wynosi $5$. Prosta $4x-3y=8$ przechodzi przez $S$ i ma wektor kierunkowy $[3,4]$ długości $5$. Końce jednej przekątnej to $S\pm[3,4]=(5,4),\ (-1,-4).$ Wektor prostopadły tej samej długości to $[-4,3]$, więc końce drugiej przekątnej są równe $S\pm[-4,3]=(-2,3),\ (6,-3)$.