MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 109

Odległość środka $S=(3,2)$ od prostej wynosi $2\sqrt2$. Połowa cięciwy ma długość $3\sqrt2$, więc $r^2=(2\sqrt2)^2+(3\sqrt2)^2=20$.

Prosta cięciwy jest prostopadła do odcinka łączącego środek okręgu z jej środkiem $A$.

Prostą przez $A$ zapisujemy z parametrem nachylenia; odległość środka okręgu od niej przyrównujemy do promienia.

Środek leży na prostej prostopadłej do odpowiedniej osi w punkcie styczności. Warunek przejścia przez $A$ wyznacza promień.

Uzupełniamy kwadraty, odczytujemy środek i promień zależny od $m$, po czym zrównujemy odległość od $3x+4y=0$ z promieniem.

Prosta przez początek ma postać $y=ax$. Odległość środka $(5,5)$ od prostej musi spełniać $d^2=r^2-(\sqrt5)^2=5$.

Okrąg ma środek $(5,5)$ i promień $\sqrt5$. W a rozwiązujemy warunek odległości prostej $y=ax$ od środka równy $\sqrt5$; w b zachowujemy nachylenie $-2$.

Dla prostej przez $A$ z parametrem kierunkowym zrównujemy jej odległość od środka okręgu z promieniem i rozwiązujemy równanie kwadratowe.

Środek ma współrzędne $(-a/2,-b/2)$ i $r^2=(a^2+b^2)/4-c$. Styczność z osią $OX$ oznacza, że $r=|b|/2$. Po porównaniu kwadratów redukuje się składnik $b^2$.

a) Środek leży na normalnej do prostej w $A$ w odległości $\sqrt{10}$ po obu stronach. b) Wstawiamy $S=(x,-4x)$; promień to odległość $S$ od prostej, a zarazem $|SA|$.

Szukamy prostej $Ax+By+C=0$ stycznej do obu okręgów. Warunki odległości środków od prostej równe odpowiednim promieniom rozpatrujemy dla zgodnych i przeciwnych stron; po normalizacji otrzymujemy cztery rozwiązania.