MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 10

Dla kąta leżącego naprzeciw pierwszej podanej przyprostokątnej korzystamy z definicji $\sin=a/c$, $\cos=b/c$, $\tg=a/b$, $\ctg=b/a$. Dla drugiego kąta role przyprostokątnych zamieniają się. Przeciwprostokątne mają kolejno długości $5,15,13,\sqrt5$.

Bok naprzeciw $\alpha$ ma długość $a=c\sin\alpha$, a druga przyprostokątna $b=\sqrt{c^2-a^2}$.

a) $a=10\cdot3/5=6$, więc $b=\sqrt{100-36}=8$.

b) $a=25\cdot0{,}28=7$, więc $b=\sqrt{625-49}=24$.

Ponieważ $\tg\alpha=a/b$, wyznaczamy drugą przyprostokątną, a następnie przeciwprostokątną.

a) $12/5=10/b$, zatem $b=25/6$, $c=65/6$. Obwód wynosi $10+25/6+65/6=25$, a $\sin\alpha=12/13$, $\cos\alpha=5/13$.

b) $1/3=2/b$, więc $b=6$, $c=2\sqrt{10}$. Obwód to $8+2\sqrt{10}$, $\sin\alpha=\sqrt{10}/10$ i $\cos\alpha=3\sqrt{10}/10$.

Niech przyprostokątne mają długości $a,b$, a przeciwprostokątna $c$. Wtedy $\sin\alpha=a/c$, $\cos\alpha=b/c$, $\tg\alpha=a/b$, $\ctg\alpha=b/a$.

a) Z twierdzenia Pitagorasa $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=(a^2+b^2)/c^2=1$.

b) $\tg\alpha\ctg\alpha=(a/b)(b/a)=1$.

c–d) Dzielenie odpowiednio $\sin$ przez $\cos$ i odwrotnie daje $a/b$ oraz $b/a$.

e) $1+\tg^2\alpha=(b^2+a^2)/b^2=c^2/b^2=1/\cos^2\alpha$.

f) Analogicznie $1+\ctg^2\alpha=c^2/a^2=1/\sin^2\alpha$.