MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 96

Skoro $P(0,-3)$ jest środkiem odcinka $AB$ i $A=(0,0)$, to

$$B=2P-A=(0,-6).$$

Punkty wspólne okręgów leżą na symetralnej odcinka $AB$, czyli na prostej $y=-3$. Dla pierwszego okręgu mamy

$$x^2+(-3)^2=(3\sqrt5)^2,$$

stąd $x^2=36$ i $x=\pm6$. Punkty przecięcia to zatem $(-6,-3)$ i $(6,-3)$, a ich odległość wynosi $12$.

Odległość początku układu współrzędnych od prostej jest równa

$$d=\frac{|k|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{|k|}{5}.$$

Prosta ma co najmniej jeden punkt wspólny z okręgiem o promieniu $10$, gdy $d\leq10$, czyli $|k|\leq50$. Nie ma natomiast punktów wspólnych z okręgiem o promieniu $5$, gdy $d>5$, czyli $|k|>25$.

Po połączeniu warunków otrzymujemy

$$25<|k|\leq50.$$

a) Z pierwszego równania $x^2+y^2=1$. Po podstawieniu tej wartości do drugiego równania dostajemy

$$1-6x-6y+10=0,$$

czyli $x+y=\frac{11}{6}$. Tymczasem dla punktów okręgu jednostkowego $|x+y|\leq\sqrt2<\frac{11}{6}$. Układ jest więc sprzeczny. Geometrycznie są to dwa rozłączne okręgi.

b) Odejmujemy drugie równanie od pierwszego:

$$4x+2y-6=0,$$

zatem $y=3-2x$. Po podstawieniu do $x^2+y^2+4y-1=0$ otrzymujemy

$$5(x-2)^2=0.$$

Stąd $x=2$ i $y=-1$. Jedno rozwiązanie oznacza, że okręgi są styczne wewnętrznie.

Niech $t=|x|$, więc $t\geq0$ i $x^2=t^2$.

a) Po podstawieniu $y=t-5$ mamy

$$t^2+(t-5)^2=37,$$ $$t^2-5t-6=0.$$

Jedynym nieujemnym pierwiastkiem jest $t=6$. Zatem $x=\pm6$ i $y=1$.

b) Tym razem $y=-2t+10$, więc

$$t^2+(-2t+10)^2=40,$$ $$t^2-8t+12=0.$$

Stąd $t=2$ lub $t=6$. Otrzymujemy odpowiednio $y=6$ lub $y=-2$, a dla każdej dodatniej wartości $t$ dwie wartości $x$.

Graficznie rozwiązaniami są punkty przecięcia odpowiedniego okręgu z dwiema półprostymi tworzącymi wykres funkcji z wartością bezwzględną.

Dane proste przecinają się w punkcie spełniającym

$$y=\sqrt3,qquad 3x+\sqrt3y-6=0,$$

czyli w punkcie $(1,\sqrt3)$. Jest to wspólny wierzchołek dwóch kolejnych boków. Jego odległość od środka sześciokąta wynosi

$$\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=2.$$

Zatem promień okręgu opisanego na sześciokącie jest równy $2$. Kolejne wierzchołki otrzymujemy przez obroty o $60^\circ$ wokół początku układu:

$$(1,\sqrt3),(2,0),(1,-\sqrt3),(-1,-\sqrt3),(-2,0),(-1,\sqrt3).$$

Proste zawierające cztery pozostałe boki wyznaczamy z kolejnych par tych punktów.

Promień okręgu spełnia

$$r^2=(\sqrt2-1)^2+(\sqrt2+1)^2=6.$$

Stosunek długości łuków $3:1$ oznacza, że mniejszy kąt środkowy ma miarę $90^\circ$. Punkt $B$ otrzymujemy więc przez obrót wektora $OA$ o $90^\circ$ w jedną albo w drugą stronę.

Obroty $(x,y)\mapsto(-y,x)$ oraz $(x,y)\mapsto(y,-x)$ dają

$$B_1=(-\sqrt2-1,\sqrt2-1),qquad B_2=(\sqrt2+1,1-\sqrt2).$$

Suma dwóch kwadratów liczb rzeczywistych jest równa zero tylko wtedy, gdy oba składniki są równe zero. Rozwiązujemy więc układ

$$\begin{cases} x^2+y^2=90,\\ x+2y=15. \end{cases}$$

Z drugiego równania $x=15-2y$. Po podstawieniu:

$$(15-2y)^2+y^2=90,$$ $$y^2-12y+27=0.$$

Stąd $y=3$ lub $y=9$. Odpowiadają im kolejno $x=9$ i $x=-3$.

Środek okręgu to $S(5,-3)$, a jego promień wynosi $3\sqrt{10}$. Odległość środka od prostej $x-3y+16=0$ jest równa

$$\frac{|5+9+16|}{\sqrt{10}}=3\sqrt{10},$$

więc ta prosta jest styczna. Odległość środka od drugiej prostej to

$$d=\frac{|5+9-38|}{\sqrt{10}}=\frac{24}{\sqrt{10}}.$$

Długość cięciwy $BC$ wynosi

$$|BC|=2\sqrt{(3\sqrt{10})^2-d^2} =\frac{18\sqrt{10}}5.$$

Wysokością trójkąta opuszczoną z punktu styczności $A$ jest odległość między równoległymi prostymi:

$$h=\frac{|16-(-38)|}{\sqrt{10}}=\frac{27\sqrt{10}}5.$$

Zatem

$$P=\frac12\cdot\frac{18\sqrt{10}}5\cdot \frac{27\sqrt{10}}5=97{,}2.$$

Wyznaczamy punkty, w których dane ramię przecina okrąg. Z równania $5x-y+37=0$ mamy $y=5x+37$, więc

$$(x-1)^2+(5x+34)^2=65,$$ $$(x+6)(x+7)=0.$$

Otrzymujemy punkty $(-7,2)$ i $(-6,7)$. Pierwszy z nich leży na krótszej podstawie $3x+2y+17=0$. Druga podstawa jest do niej równoległa i przechodzi przez $(-6,7)$, zatem ma równanie

$$3x+2y+4=0.$$

Drugi koniec krótszej podstawy wyznaczony przez okrąg to $(-3,-4)$, a drugi koniec dłuższej podstawy to $(2,-5)$. Prosta przez te dwa punkty ma równanie

$$x+5y+23=0.$$