MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 95

a) Z drugiego równania $y=x-8\sqrt2$. Po podstawieniu do pierwszego:

$$x^2+(x-8\sqrt2)^2=64 \iff x^2-8\sqrt2x+32=0.$$

Równanie ma podwójny pierwiastek $x=4\sqrt2$, a wtedy $y=-4\sqrt2$. Prosta jest styczna do okręgu.

b) Mamy $y=x-5$, zatem

$$x^2+(x-1)^2=41 \iff x^2-x-20=0.$$

Stąd $x=5$ lub $x=-4$, co daje punkty $(5,0)$ i $(-4,-9)$. Prosta jest sieczną okręgu.

c) Środek okręgu to $(-3,7)$, promień wynosi $\sqrt{28}$, a odległość środka od prostej $3x-2y-1=0$ jest równa

$$\frac{|3(-3)-2\cdot7-1|}{\sqrt{13}}=\frac{24}{\sqrt{13}}> \sqrt{28}.$$

Układ jest sprzeczny: prosta i okrąg są rozłączne.

d) Z drugiego równania $y=3x+14$. Po podstawieniu:

$$(x-2)^2+(3x+14)^2=100 \iff x^2+8x+10=0.$$

Zatem $x=-4\pm\sqrt6$ i $y=2\pm3\sqrt6$, z tym samym wyborem znaku. Prosta jest sieczną okręgu.

a) Z równania prostej $y=-x-2$. Po podstawieniu do równania okręgu:

$$x^2+(-x-2)^2=34 \iff x^2+2x-15=0.$$

Punkty wspólne to $(-5,3)$ i $(3,-5)$, a długość cięciwy wynosi $\sqrt{8^2+(-8)^2}=8\sqrt2$.

b) Mamy $y=\frac35-x$. Podstawienie daje pierwiastki $x=\frac15$ i $x=\frac25$, więc punkty to $\left(\frac15,\frac25\right)$ i $\left(\frac25,\frac15\right)$. Ich odległość wynosi $\frac{\sqrt2}{5}$.

c) Z prostej $x=2y-20$. Po podstawieniu:

$$(2y-12)^2+(y-1)^2=65 \iff y^2-10y+16=0.$$

Stąd punkty $(-4,8)$ i $(-16,2)$, a długość cięciwy wynosi $\sqrt{12^2+6^2}=6\sqrt5$.

d) Ponieważ $x=y$, mamy

$$2(x+6)^2=36,$$

zatem punkty to $(-6-3\sqrt2,-6-3\sqrt2)$ i $(-6+3\sqrt2,-6+3\sqrt2)$. Ich odległość wynosi $12$.

Odległość środka pierwszego okręgu $S_1=(5,1)$ od prostej wynosi

$$d_1=\frac{|5-3\cdot1+18|}{\sqrt{10}} =\frac{20}{\sqrt{10}}=2\sqrt{10}.$$

Jest ona równa promieniowi $\sqrt{40}=2\sqrt{10}$, więc prosta jest styczna do pierwszego okręgu i ma z nim jeden punkt wspólny.

Dla drugiego okręgu $S_2=(-5,10)$ i $r_2=\sqrt{45}=3\sqrt5$:

$$d_2=\frac{|-5-3\cdot10+18|}{\sqrt{10}} =\frac{17}{\sqrt{10}}<3\sqrt5.$$

Prosta jest jego sieczną i ma z nim dwa punkty wspólne. Liczby punktów wspólnych nie są więc równe.

Dane proste mają współczynniki kierunkowe $2$ i $-\frac12$, więc są prostopadłe. Zawarte w nich przekątne czworokąta są zatem prostopadłe.

Okrąg ma środek $S=(3,5)$ i promień $R=10$. Odległość $S$ od prostej $2x-y+19=0$ wynosi

$$d_1=\frac{|2\cdot3-5+19|}{\sqrt5}=4\sqrt5.$$

Długość odpowiedniej cięciwy, czyli przekątnej $AC$, jest równa

$$AC=2\sqrt{R^2-d_1^2}=2\sqrt{100-80}=4\sqrt5.$$

Dla prostej $x+2y-17=0$ mamy

$$d_2=\frac{|3+2\cdot5-17|}{\sqrt5}=\frac4{\sqrt5},$$

więc

$$BD=2\sqrt{100-\frac{16}{5}}=\frac{44}{\sqrt5}.$$

Pole czworokąta o prostopadłych przekątnych wynosi

$$P=\frac12\,AC\cdot BD =\frac12\cdot4\sqrt5\cdot\frac{44}{\sqrt5}=88.$$

Na prostej $p$ mamy $y=2x$.

Dla pierwszego okręgu podstawienie daje

$$(x-4)^2+(2x+2)^2=25 \iff x^2=1.$$

Poza punktem $P=(1,2)$ drugim punktem wspólnym jest więc $Q_1=(-1,-2)$.

Dla drugiego okręgu otrzymujemy

$$(x+4)^2+(2x-7)^2=50 \iff x^2-4x+3=0.$$

Pierwiastki to $1$ i $3$, więc drugim punktem wspólnym jest $Q_2=(3,6)$. Środek odcinka $Q_1Q_2$ ma współrzędne

$$\left(\frac{-1+3}{2},\frac{-2+6}{2}\right)=(1,2)=P.$$

To dowodzi tezy.

a) Z drugiego równania $y=2-x$. Po podstawieniu do pierwszego:

$$x^2-6x+8=0,$$

więc otrzymujemy punkty $(2,0)$ i $(4,-2)$. Prosta jest sieczną okręgu.

b) Mamy $y=10-x$. Podstawienie prowadzi do

$$(x-10)^2=0,$$

zatem jedynym punktem jest $(10,0)$. Prosta jest styczna do okręgu.

c) Mamy $y=15-2x$. Po podstawieniu:

$$5x^2-64x+176=0.$$

Pierwiastki to $x=4$ i $x=\frac{44}{5}$, co daje punkty $(4,7)$ oraz $\left(\frac{44}{5},-\frac{13}{5}\right)$. Prosta jest sieczną okręgu.

d) Mamy $y=\frac{x}{2}$. Po podstawieniu i pomnożeniu przez $4$ otrzymujemy

$$5x^2-16x+64=0.$$

Wyróżnik jest ujemny, więc układ jest sprzeczny: prosta i okrąg są rozłączne.

W punktach wspólnych obu okręgów zachodzi $x^2+y^2=25$. Po podstawieniu tej wartości do drugiego równania:

$$25+6x-43=0,$$

stąd $x=3$. Pierwsze równanie daje wtedy

$$y^2=25-9=16,$$

więc punkty przecięcia to $(3,-4)$ i $(3,4)$. Ich odległość, równa średnicy szukanego koła, wynosi $8$. Promień tego koła ma długość $4$, a jego pole jest równe $\pi\cdot4^2=16\pi$.