MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 97

Po przesunięciach równania okręgów są następujące:

$O_1:x^2+y^2=25,$ $O_2:(x-8)^2+y^2=25,$ $O_3:x^2+(y-6)^2=25.$

Dla punktu $P=(4,3)$ otrzymujemy kolejno $4^2+3^2=25$, $(4-8)^2+3^2=25$ oraz $4^2+(3-6)^2=25$. Punkt $P$ należy więc do wszystkich trzech okręgów, co dowodzi tezy.

Odejmowanie równań każdego układu usuwa składniki $x^2+y^2$.

a) Otrzymujemy $y=x+8$. Po podstawieniu do pierwszego równania: $(x+2)^2+(x+1)^2=13$, czyli $(x-1)(x+4)=0$. Stąd punkty $(-4,4)$ i $(1,9)$. Okręgi przecinają się w dwóch punktach.

b) Środki okręgów to $(2,-1)$ i $(-1,3)$, promienie wynoszą $5$ i $10$, a odległość środków jest równa $5$. Okręgi są styczne wewnętrznie; punkt styczności leżący na prostej środków to $(5,-5)$.

c) Po odjęciu równań mamy $y=11-4x$. Podstawienie daje dwa rozwiązania: $(3,-1)$ i $(1,7)$. Okręgi przecinają się w dwóch punktach.

d) Odległość środków $(-6,5)$ i $(3,3)$ wynosi $\sqrt{85}$, natomiast suma promieni wynosi $4+5=9$. Ponieważ $\sqrt{85}>9$, okręgi są rozłączne i układ jest sprzeczny.

Odjęcie równań okręgów daje ich oś potęgową $x+y-5=0$. Jej przecięcia z pierwszym okręgiem to $P=(-1,6)$ i $Q=(-8,13)$.

Okręgi mają równe promienie, więc cięciwy wyznaczone przez tę samą prostą mają równe długości dokładnie wtedy, gdy odległości obu środków od prostej są równe. Taka prosta jest albo równoległa do prostej środków, albo przechodzi przez środek odcinka łączącego środki.

Proste równoległe do prostej środków, przechodzące odpowiednio przez $P$ i $Q$, mają równania $x-y+7=0$ oraz $x-y+21=0$. Druga możliwość daje wspólną cięciwę $x+y-5=0$.