MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 94

Środek okręgu i jego promień są równe

$$S=(-4m-2,5m+20),\qquad r=10.$$

Styczność do osi $OX$ zachodzi wtedy, gdy odległość środka od tej osi jest równa promieniowi:

$$|5m+20|=10 \iff |m+4|=2.$$

Stąd $m=-6$ lub $m=-2$. Odległość środka od osi $OY$ jest modułem jego pierwszej współrzędnej. Zatem

$$m=-6:\quad d=|-4(-6)-2|=22,$$ $$m=-2:\quad d=|-4(-2)-2|=6.$$

a) Środek okręgu to $S=(1,m)$, a promień wynosi $\sqrt{13}$. Warunek styczności daje

$$\frac{|2-3m-9|}{\sqrt{13}}=\sqrt{13} \iff |3m+7|=13.$$

Stąd $m=2$ lub $m=-\frac{20}{3}$.

b) Środek okręgu to $S=(-1,-4)$, a promień wynosi $\sqrt{10}$. Zatem

$$\frac{|-1-4m+3|}{\sqrt{1+m^2}}=\sqrt{10}.$$

Po podniesieniu do kwadratu otrzymujemy

$$(2-4m)^2=10(1+m^2) \iff 3m^2-8m-3=0,$$

więc $m=3$ lub $m=-\frac13$.

Środek okręgu to $(0,0)$, a promień wynosi $\sqrt2$. Prostą zapisujemy jako $x-y-a=0$. Jej odległość od środka okręgu jest równa

$$d=\frac{|a|}{\sqrt2}.$$

Prosta jest sieczną dla $d<\sqrt2$, jest rozłączna dla $d>\sqrt2$ i jest styczna dla $d=\sqrt2$. Po pomnożeniu nierówności lub równania przez $\sqrt2$ dostajemy odpowiednio $|a|<2$, $|a|>2$ i $|a|=2$.

Prosta przecina osie w punktach $(8,0)$ i $(0,6)$, ponieważ $3x+4y=24$. Powstaje trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $8$ i $6$ oraz przeciwprostokątnej $10$.

Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny jest równy

$$r=\frac{8+6-10}{2}=2.$$

Okrąg jest styczny do obu dodatnich półosi, więc jego środek ma współrzędne $(2,2)$.

Ponieważ $A=(p,q)$ leży na okręgu jednostkowym,

$$p^2+q^2=1.$$

Po podstawieniu współrzędnych $A$ do równania $px+qy=1$ otrzymujemy $p^2+q^2=1$, więc prosta przechodzi przez $A$.

Wektor $(p,q)$ jest jednocześnie wektorem promienia $OA$ i wektorem normalnym prostej $px+qy=1$. Prosta jest więc prostopadła do promienia w punkcie $A$, a zatem jest styczna do okręgu w tym punkcie.

Środek okręgu to $S=(a,-a)$, a jego promień wynosi $1$. Prostą $y=x+a$ zapisujemy jako $x-y+a=0$. Jej odległość od $S$ jest równa

$$d=\frac{|a-(-a)+a|}{\sqrt2}=\frac{3|a|}{\sqrt2}.$$

Jeżeli $|a|>\frac12$, to

$$d>\frac{3}{2\sqrt2}>1,$$

bo $\left(\frac{3}{2\sqrt2}\right)^2=\frac98>1$. Odległość środka okręgu od prostej jest zatem większa od promienia, więc prosta i okrąg są rozłączne.

Punkt $A=(2,-2)$ leży na prostej $2x+y=2$, natomiast $B=(5,1)$ na niej nie leży. Zgodnie z oznaczeniem trójkąta jego ramieniem zawartym w tej prostej jest $AC$, a $AC=BC$. Punkt $C=(x,y)$ leży więc jednocześnie na prostej $2x+y=2$ i na symetralnej podstawy $AB$.

Środek $AB$ to $(\frac72,-\frac12)$, a prosta $AB$ ma nachylenie $1$, więc jej symetralna ma równanie $x+y=3$. Rozwiązujemy

$$\begin{cases} 2x+y=2,\\ x+y=3, \end{cases}$$

otrzymując $C=(-1,4)$.

Warunek $|CP|:|PB|=1:2$ daje

$$P=\frac{2C+B}{3}=(1,3).$$

Promień szukanego okręgu jest odległością $P$ od boku $AC$, czyli od prostej $2x+y-2=0$:

$$r=\frac{|2\cdot1+3-2|}{\sqrt5}=\frac3{\sqrt5}, \qquad r^2=\frac95.$$

Równanie $(x-a)(y-2a)=0$ oznacza, że figura $F_a$ jest sumą dwóch prostych:

$$x=a\qquad\text{lub}\qquad y=2a.$$

Prosta pionowa $x=a$ nie ma punktów wspólnych z okręgiem jednostkowym dokładnie wtedy, gdy jej odległość od początku układu jest większa niż $1$, czyli $|a|>1$.

Analogicznie prosta $y=2a$ jest rozłączna z okręgiem wtedy, gdy $|2a|>1$. Oba warunki muszą zachodzić jednocześnie, a silniejszy z nich to $|a|>1$.

Środek okręgu to

$$S=(2-8a,5a-15),$$

a promień wynosi $10$. Oś $OX$ jest sieczną, gdy

$$|5a-15|<10\iff 1<a<5.$$

Oś $OY$ jest sieczną, gdy

$$|2-8a|<10\iff -1<a<\frac32.$$

Częścią wspólną tych dwóch przedziałów jest $\left(1;\frac32\right)$.

Prosta $y=ax$ ma postać ogólną $ax-y=0$.

Dla pierwszego okręgu $S_1=(-4,0)$ i $r_1=1$, więc

$$d_1=\frac{4|a|}{\sqrt{a^2+1}}.$$

Prosta ma z nim dwa punkty wspólne dla $|a|<\frac1{\sqrt{15}}$, jeden dla równości i zero dla wartości większych.

Dla drugiego okręgu $S_2=(2,2)$ i $r_2=2$, więc

$$d_2=\frac{2|a-1|}{\sqrt{a^2+1}}.$$

Porównanie $d_2$ z $2$ pokazuje, że liczba punktów wspólnych wynosi $2$ dla $a>0$, $1$ dla $a=0$ i $0$ dla $a<0$.

Obie liczby są równe $2$ dla $0<a<\frac1{\sqrt{15}}$, a są równe $0$ dla $a<-\frac1{\sqrt{15}}$. W pozostałych przypadkach są różne.

W każdej ćwiartce zbiór $F$ jest odcinkiem prostej, na przykład $x+y=4$ w I ćwiartce. Odległość początku układu od każdej prostej zawierającej bok tej figury wynosi

$$\frac4{\sqrt2}=2\sqrt2,$$

a każdy wierzchołek figury jest oddalony od początku układu o $4$.

Dla $r=2\sqrt2$ okrąg jest styczny do czterech boków, a dla $r=4$ przechodzi tylko przez cztery wierzchołki. Gdy

$$2\sqrt2<r<4,$$

okrąg przecina wnętrze każdego z czterech boków w dwóch punktach, co daje dokładnie osiem różnych punktów wspólnych.