MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 93

Proste $y=-4$ i $y=6$ są równoległe i oddalone o $10$. Okrąg styczny do obu ma zatem promień $5$, a druga współrzędna jego środka jest równa $1$. Oznaczmy środek przez $S=(h,1)$.

Okrąg przechodzi przez $P=(7,4)$, więc

$$(7-h)^2+(4-1)^2=25.$$

Stąd $(7-h)^2=16$, czyli $h=3$ lub $h=11$.

Odległość danych prostych równoległych wynosi

$$\frac{|3-(-11)|}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}=\frac{14}{\sqrt{10}}.$$

Środek okręgu stycznego do obu prostych leży na prostej położonej w połowie między nimi, czyli na

$$3x-y-4=0,$$

a promień jest równy połowie ich odległości: $r=\frac7{\sqrt{10}}$. Ponieważ odcięta środka wynosi $2$, mamy $3\cdot2-y-4=0$, zatem środek to $(2,2)$. Ponadto $r^2=\frac{49}{10}$.

Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej. Wektor normalny prostej $x-y+3=0$ to $(1,-1)$ i ma długość $\sqrt2$, równą promieniowi okręgu.

Od punktu $A=(-1,2)$ przesuwamy się więc o wektor $(1,-1)$ albo $(-1,1)$. Dostajemy dwa możliwe środki:

$$S_1=(0,1),\qquad S_2=(-2,3).$$

Ponieważ okrąg jest styczny do osi $OX$, środek w I ćwiartce ma postać $S=(h,4)$. Odległość $S$ od prostej $4x-3y=0$ także jest równa $4$:

$$\frac{|4h-12|}{5}=4.$$

Stąd $h=8$ lub $h=-2$; warunek I ćwiartki daje $S=(8,4)$. Punkt styczności z osią to $T=(8,0)$. Rzut prostopadły $S$ na prostą $4x-3y=0$ jest drugim punktem styczności:

$$Q=\left(8-\frac{4\cdot20}{25}, 4+\frac{3\cdot20}{25}\right) =\left(\frac{24}{5},\frac{32}{5}\right).$$

Czworokąt $OTSQ$ dzielimy przekątną $OS$ na dwa trójkąty. Ich pola są równe

$$P_{OTS}=\frac12\cdot8\cdot4=16,$$ $$P_{OSQ}=\frac12\left|8\cdot\frac{32}{5} -4\cdot\frac{24}{5}\right|=16.$$

Łączne pole wynosi $32$.

a) Prosta równoległa ma postać $2x-y+c=0$. Odległość środka $S=(1,-4)$ od niej ma być równa $2\sqrt5$:

$$\frac{|2\cdot1-(-4)+c|}{\sqrt5}=2\sqrt5 \iff |6+c|=10.$$

Zatem $c=4$ lub $c=-16$.

b) Prosta przez $P=(4,2)$ o nachyleniu $m$ ma równanie $mx-y+2-4m=0$. Warunek styczności do okręgu o środku $(0,0)$ i promieniu $\sqrt{10}$ daje

$$\frac{|2-4m|}{\sqrt{m^2+1}}=\sqrt{10} \iff 3m^2-8m-3=0.$$

Stąd $m=3$ lub $m=-\frac13$.

c) Punkty przecięcia okręgu z osią $OX$ to $(4,0)$ i $(10,0)$. Promienie poprowadzone do nich mają kierunki odpowiednio $(-3,-4)$ i $(3,-4)$. Prostopadłe do nich styczne mają równania

$$3x+4y-12=0,\qquad 3x-4y-30=0.$$

d) Szukane proste mają nachylenie $\sqrt3$, więc zapisujemy je jako $\sqrt3x-y+c=0$. Ich odległość od początku układu ma być równa $1$:

$$\frac{|c|}{2}=1,$$

czyli $c=\pm2$.

Środki danych okręgów to $S_1=(0,0)$ i $S_2=(14,2)$, a środek odcinka $S_1S_2$ to $M=(7,1)$. Obrót o $180^\circ$ wokół $M$ zamienia okręgi miejscami. Każda prosta przechodząca przez $M$ przechodzi przy tym obrocie na siebie, więc wystarczy narzucić jej styczność do $O_1$.

Niech prosta ma równanie $y-1=m(x-7)$. Jej odległość od $S_1$ ma być równa $5$:

$$\frac{|1-7m|}{\sqrt{m^2+1}}=5.$$

Po podniesieniu do kwadratu dostajemy

$$12m^2-7m-12=0,$$

zatem $m=\frac43$ lub $m=-\frac34$. Po zapisaniu prostych w postaci ogólnej otrzymujemy dwa rozwiązania.

Środek okręgu to $S=(3,8)$. Dla $x=0$ równanie okręgu przyjmuje postać

$$9+(y-8)^2=58,$$

więc $A=(0,1)$ i $B=(0,15)$, a $AB=14$.

Promienie $SA$ i $SB$ są normalne do stycznych. Równania stycznych w $A$ i $B$ można zapisać jako

$$3x+7y-7=0, \qquad -3x+7y-105=0.$$

Ich przecięciem jest $C=(-\frac{49}{3},8)$. Wysokość trójkąta opuszczona z $C$ na prostą $AB$, czyli na oś $OY$, ma długość $\frac{49}{3}$. Zatem

$$P_{ABC}=\frac12\cdot14\cdot\frac{49}{3} =\frac{343}{3}=114\frac13.$$

Środek okręgu to $S=(3,-1)$, a jego promień wynosi $5\sqrt2$. Prostą przez $P=(-3,-9)$ o współczynniku kierunkowym $m$ zapisujemy jako

$$y+9=m(x+3),$$

czyli $mx-y+3m-9=0$. Warunek styczności ma postać

$$\frac{|6m-8|}{\sqrt{m^2+1}}=5\sqrt2.$$

Po podniesieniu do kwadratu i uproszczeniu otrzymujemy

$$7m^2+48m-7=0.$$

Jeśli $m_1,m_2$ są współczynnikami obu stycznych, to z wzorów Viète'a

$$m_1m_2=\frac{-7}{7}=-1.$$

Iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $-1$, zatem styczne są prostopadłe.

Prosta ma równanie $\sqrt3x-y=0$. Środek $O_1$ ma drugą współrzędną $8$, bo okrąg jest styczny do osi $OX$. Jeśli $S_1=(x,8)$, to

$$\frac{|\sqrt3x-8|}{2}=8.$$

Warunek I ćwiartki wybiera rozwiązanie $S_1=(8\sqrt3,8)$.

Analogicznie środek $O_2$ ma postać $(x,-6)$ i spełnia

$$\frac{|\sqrt3x+6|}{2}=6.$$

Warunek III ćwiartki daje $S_2=(-6\sqrt3,-6)$. Zatem

$$S_1S_2=\sqrt{(14\sqrt3)^2+14^2}=28.$$

Niech środek okręgu będzie równy $(a,b)$. Połowa cięciwy wyznaczonej przez oś $OX$ ma długość $5$. Z twierdzenia Pitagorasa dla promienia, połowy cięciwy i odległości środka od osi mamy

$$b^2+5^2=50,$$

więc $b=\pm5$.

Połowa cięciwy wyznaczonej przez oś $OY$ ma długość $1$, zatem

$$a^2+1^2=50,$$

czyli $a=\pm7$. Każde połączenie znaków spełnia warunki zadania.