MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 92

Porównujemy odległość środka okręgu od prostej z promieniem.

a) $S=(0,-7)$, $r=5$, a odległość od prostej $x=-5$ wynosi $5$. Prosta jest styczna, więc ma jeden punkt wspólny.

b) $S=(-\sqrt3,\sqrt5)$, $r=4$, a odległość od prostej $y=\sqrt5-3$ wynosi $3<4$. Prosta jest sieczną, więc ma dwa punkty wspólne.

c) $S=(-3,0)$, $r=\frac12$, a odległość od prostej $x=-4{,}5$ wynosi $1{,}5>\frac12$. Nie ma punktów wspólnych.

d) $S=(-1,5)$, $r=2$, a odległość od prostej $y=7$ wynosi $2$. Prosta jest styczna, więc ma jeden punkt wspólny.

Styczne prostopadłe do osi $OX$ są pionowe. Dla okręgu o środku $(h,k)$ i promieniu $r$ mają równania $x=h-r$ oraz $x=h+r$.

a) $h=6$, $r=4$, więc $x=2$ lub $x=10$.

b) $h=\frac23$, $r=\frac23$, więc $x=0$ lub $x=\frac43$.

c) $h=-2\sqrt2$, $r=4\sqrt2$, więc $x=-6\sqrt2$ lub $x=2\sqrt2$.

d) $h=10$, $r=\sqrt{10}$, więc $x=10-\sqrt{10}$ lub $x=10+\sqrt{10}$.

Prosta jest sieczną, gdy odległość $d$ środka okręgu od prostej jest mniejsza od promienia $r$.

a) $d=\frac{|-12-50-3|}{13}=5<\sqrt{30}=r$, więc tak.

b) $d=\frac{|-8-15+10|}{\sqrt{13}}=\sqrt{13}=r$, więc prosta jest styczna, a nie sieczna.

c)

$$d=\frac{|3(-\frac12)+4(\frac14)+13|}{5} =\frac52>\sqrt6=r,$$

więc prosta jest rozłączna z okręgiem.

d)

$$d=\frac{|-4\sqrt5+9\sqrt5+5\sqrt5|}{5} =2\sqrt5<\frac92=r,$$

więc prosta jest sieczną.

Obliczamy odległość środka każdego okręgu od odpowiedniej prostej. Jeśli $d<r$, są dwa punkty wspólne; jeśli $d=r$ — jeden; jeśli $d>r$ — żadnego.

$$\begin{array}{c|c|c|c} &d&r&\text{liczba punktów}\\ \hline \text{a)}&\frac1{2\sqrt{10}}&1&2\\ \text{b)}&\frac{2\sqrt2}{3}&\frac{2\sqrt2}{3}&1\\ \text{c)}&\frac7{\sqrt5}&2&0\\ \text{d)}&\frac3{\sqrt5}&1&0\\ \text{e)}&1&1&1\\ \text{f)}&\frac{14}{\sqrt{29}}&5&2 \end{array}$$

Środek okręgu to $S=(-4,2)$. Odcinek łączący środek okręgu ze środkiem cięciwy jest prostopadły do tej cięciwy. Wektor

$$\overrightarrow{SP}=(2,-1)$$

ma nachylenie $-\frac12$, więc szukana prosta ma nachylenie $2$. Przechodzi przez $P=(-2,1)$, zatem

$$y-1=2(x+2).$$

Środek $(a,b)$ szukanego okręgu musi leżeć w odległości $1$ od danej prostej, więc

$$\frac{|3a-4b+7|}{5}=1.$$

Stąd $3a-4b+7=5$ albo $3a-4b+7=-5$, czyli środki tworzą dwie proste równoległe do danej.

Środek okręgu stycznego do obu osi ma postać $(\varepsilon r,\delta r)$, gdzie $\varepsilon,\delta\in\{-1,1\}$ i $r>0$. Warunek przejścia przez $P=(-4,-2)$ prowadzi do

$$(-4-\varepsilon r)^2+(-2-\delta r)^2=r^2.$$

Tylko dla $\varepsilon=\delta=-1$ równanie ma dodatnie rozwiązania:

$$(r-4)^2+(r-2)^2=r^2 \iff r^2-12r+20=0.$$

Stąd $r=2$ lub $r=10$, a środki to odpowiednio $(-2,-2)$ i $(-10,-10)$.

Niech środek okręgu będzie równy $S=(a,0)$. Warunek styczności do prostej oznacza, że odległość środka od prostej jest równa promieniowi:

$$\frac{|2a-19|}{\sqrt{13}}=\sqrt{13}.$$

Zatem $|2a-19|=13$, skąd $a=3$ lub $a=16$.