MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 91

Środki i promienie danych okręgów to

$$S_1=(-8,2),\quad r_1=\sqrt5,\qquad S_2=(2,7),\quad r_2=4\sqrt5.$$

Odległość między środkami wynosi

$$|S_1S_2|=\sqrt{10^2+5^2}=5\sqrt5=r_1+r_2,$$

więc okręgi są styczne zewnętrznie.

Najmniejszy okrąg obejmujący oba dane okręgi ma promień $R=r_1+r_2=5\sqrt5$. Jego środek leży na prostej $S_1S_2$ i jest punktem $S_3=(0,6)$, ponieważ

$$|S_3S_1|=4\sqrt5=R-r_1,\qquad |S_3S_2|=\sqrt5=R-r_2.$$

Zatem oba dane okręgi są styczne wewnętrznie do $O_3$, a

$$2\pi R=10\pi\sqrt5 =2\pi r_1+2\pi r_2.$$

Odległości środków są równe $AB=8$, $AC=6$, $BC=10$. Jeśli promienie okręgów oznaczymy przez $r_1,r_2,r_3$, to ze styczności zewnętrznej

$$r_1+r_2=8,\qquad r_1+r_3=6,\qquad r_2+r_3=10.$$

Stąd $r_1=2$, $r_2=6$, $r_3=4$. Punkty styczności dzielą odcinki łączące środki w stosunku odpowiednich promieni, zatem

$$P_1=(2,0),\qquad P_2=(0,2),$$

oraz

$$P_3=B+\frac6{10}(C-B) =\left(\frac{16}{5},\frac{18}{5}\right).$$

Proste mają równania

$$AP_3:\ y=\frac98x,\qquad BP_2:\ y=-\frac14x+2,\qquad CP_1:\ y=-3x+6.$$

Pierwsze dwie przecinają się w punkcie $\mathcal A=(\frac{16}{11},\frac{18}{11})$, który spełnia także równanie trzeciej prostej.

Środki okręgów to $S_1=(-k,-k)$ i $S_2=(k,k)$, a promienie są równe $3$ i $2$. Odległość między środkami wynosi

$$d=\sqrt{(2k)^2+(2k)^2}=2\sqrt2|k|.$$

Okręgi mają dwa punkty wspólne wtedy i tylko wtedy, gdy

$$|3-2|<d<3+2.$$

Zatem

$$1<2\sqrt2|k|<5 \iff \frac{\sqrt2}{4}<|k|<\frac{5\sqrt2}{4}.$$

Okrąg $O_1$ ma środek $S_1=(-4,-2)$ i promień $r_1=2\sqrt5$. Okrąg $O_2$ ma środek

$$S_2=\left(k-4,\frac{k}{2}-2\right)$$

i promień $r_2=2\sqrt5+k$. Dla $k\geq0$ odległość środków wynosi

$$d=\sqrt{k^2+\frac{k^2}{4}}=\frac{k\sqrt5}{2}.$$

Dla $k=0$ okręgi pokrywają się. Dla $k>0$ mają dwa punkty wspólne, gdy $|r_2-r_1|<d<r_1+r_2$. Pierwsza nierówność jest wtedy spełniona, a druga daje

$$\frac{k\sqrt5}{2}<4\sqrt5+k \iff k<40+16\sqrt5.$$

Dla dwóch okręgów o promieniach $r_1,r_2$ i odległości środków $d$ największa odległość punktów wynosi $d+r_1+r_2$. Najmniejsza jest równa zeru, gdy okręgi mają punkt wspólny, a dla okręgów rozłącznych zewnętrznie wynosi $d-r_1-r_2$.

a) $d=\sqrt{7^2+1^2}=5\sqrt2$, $r_1=2$, $r_2=1$. Okręgi są rozłączne zewnętrznie, więc

$$d_{\min}=5\sqrt2-3,\qquad d_{\max}=5\sqrt2+3.$$

b) Po sprowadzeniu równań do postaci kanonicznej otrzymujemy $S_1=(1,0)$, $r_1=3$, $S_2=(1,5)$, $r_2=2$. Ponieważ $d=5=r_1+r_2$, okręgi są styczne i

$$d_{\min}=0,\qquad d_{\max}=10.$$

c) Mamy $S_1=(-3,-2)$, $r_1=3$, $S_2=(2,4)$, $r_2=5$ oraz $d=\sqrt{61}$. Ponieważ $2<\sqrt{61}<8$, okręgi przecinają się, zatem

$$d_{\min}=0,\qquad d_{\max}=8+\sqrt{61}.$$

a) Środki są oddalone o $|a|$, a promienie wynoszą $1$ i $3$. Styczność zewnętrzna zachodzi dla $|a|=1+3=4$, a wewnętrzna dla $|a|=3-1=2$.

b) Odległość między środkiem $(0,0)$ a $(6,8)$ wynosi $10$. Drugi promień to $|a|$. Styczność zewnętrzna daje

$$10=1+|a|\iff |a|=9,$$

a styczność wewnętrzna

$$10=\big||a|-1\big|\iff |a|=11.$$

Odległość środka okręgu $O$ od środka okręgu jednostkowego o współrzędnej $a$ wynosi

$$d_a=\sqrt{a^2+16^2}.$$

Dwa okręgi przecinają się w dwóch punktach wtedy i tylko wtedy, gdy

$$|r-1|<d_a<r+1,$$

czyli równoważnie $d_a-1<r<d_a+1$. Dla dziewięciu wartości $a$ najmniejsza odległość to $d_0=16$, a największa $d_{\pm8}=\sqrt{320}=8\sqrt5$. Wszystkie warunki zachodzą jednocześnie, gdy

$$8\sqrt5-1<r<16+1.$$

Liczba punktów przecięcia okręgów o promieniach $R$ i $q$ oraz odległości środków $d=|a|$ wynosi $2$, gdy $|R-q|<d<R+q$, i $1$ na niezerowych krańcach tych przedziałów.

a) Dla $R=4$ przedziały dwóch przecięć z okręgami figury mają postać

$$q=1:\ (3,5),\qquad q=3:\ (1,7),\qquad q=5:\ (1,9).$$

Dokładnie dwa z trzech okręgów dają po dwa przecięcia dla $d\in(1,3)\cup(5,7)$; wartości graniczne dają inną liczbę punktów.

b) Dla $R=3$ otrzymujemy

$$q=1:\ (2,4),\qquad q=3:\ (0,6),\qquad q=5:\ (2,8).$$

Cztery punkty występują dla $d=2$ (dwie styczności i dwa przecięcia z okręgiem o promieniu $3$) oraz dla $d\in(4,6)$.