MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 90

Okrąg $O_1$ ma środek $S_1=(1,5)$ i promień $\sqrt5$. Środek drugiego okręgu leży na prostej $y=x+1$, więc ma postać $S_2=(a,a+1)$. Zewnętrzna styczność daje

$|S_1S_2|=\sqrt5+2\sqrt5=3\sqrt5.$

Po podniesieniu do kwadratu:

$(a-1)^2+(a-4)^2=45,$

$a^2-5a-14=0,$

stąd $a=-2$ albo $a=7$.

Dla $S_2=(-2,-1)$ prosta $S_1S_2$ ma równanie $2x-y+3=0$, więc

$d_1=\frac{|3|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{3\sqrt5}{5}.$

Dla $S_2=(7,8)$ prosta $S_1S_2$ ma równanie $x-2y+9=0$, więc

$d_2=\frac{|9|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}=\frac{9\sqrt5}{5}.$

Środki sześciu okręgów to kolejno

$(0,2),\ (\sqrt3,1),\ (\sqrt3,-1),\ (0,-2),\ (-\sqrt3,-1),\ (-\sqrt3,1).$

Każdy z danych okręgów ma promień $1$.

a) Odległość każdych dwóch kolejnych środków, także pierwszego i ostatniego, wynosi $2$. Jest to suma promieni, więc każdy okrąg jest styczny zewnętrznie do dwóch sąsiednich.

b) Każdy środek spełnia równanie $x^2+y^2=4$, zatem środki leżą na okręgu o promieniu $2$.

c) Okrąg o środku $(0,0)$ i promieniu $1$ jest odległy od każdego z sześciu środków o $2=1+1$, więc jest styczny zewnętrznie do wszystkich sześciu.

d) Okrąg o środku $(0,0)$ i promieniu $3$ zawiera każdy dany okrąg, a $3-1=2$ jest odległością środków. Każdy mały okrąg jest więc do niego styczny wewnętrznie.

a) Po uzupełnieniu kwadratów:

$O_1:(x+1)^2+(y+1)^2=m^2,$

$O_2:(x-2)^2+(y-3)^2=4m^2.$

Dla $m>0$ promienie wynoszą $m$ i $2m$, a odległość środków jest równa $5$. Styczność zewnętrzna daje $m+2m=5$, więc $m=\frac53$.

b) Otrzymujemy

$O_1:(x+3)^2+(y-2)^2=m^2-3,$

$O_2:(x-1)^2+(y-2)^2=(m+1)^2.$

Odległość środków wynosi $4$, zatem

$\sqrt{m^2-3}+m+1=4.$

Ponieważ prawa strona po przeniesieniu składników musi być nieujemna, podnosimy do kwadratu równanie $\sqrt{m^2-3}=3-m$ i dostajemy $m=2$. Wtedy promienie wynoszą $1$ i $3$.

a) Pierwszy okrąg ma środek $(2,1)$ i promień $2$. Drugi ma środek $(-3,1)$ i promień $\sqrt m$, więc musi być $m>0$. Odległość środków wynosi $5$. Dla styczności zewnętrznej

$2+\sqrt m=5,$

co daje $m=9$. Dla styczności wewnętrznej

$|\sqrt m-2|=5,$

co daje $m=49$.

b) Pierwszy okrąg ma środek $(2,-1)$ i promień $1$, a drugi środek $(-1,3)$ i promień $\frac{\sqrt m}{2}$. Odległość środków znów wynosi $5$. Z równań

$1+\frac{\sqrt m}{2}=5$

oraz

$\left|\frac{\sqrt m}{2}-1\right|=5$

otrzymujemy odpowiednio $m=64$ i $m=144$.

Niech $S=(x,y)$ będzie środkiem szukanego okręgu. Zewnętrzna styczność oznacza, że odległości $SS_1$ i $SS_2$ są sumami odpowiednich promieni.

a) Mamy

$x^2+y^2=4^2=16,$

$(x-5)^2+y^2=3^2=9.$

Po odjęciu równań otrzymujemy $x=\frac{16}{5}$, a następnie $y=\pm\frac{12}{5}$. Promień szukanego okręgu wynosi $1$.

b) Mamy

$x^2+y^2=9^2=81,$

$(x-9)^2+y^2=6^2=36.$

Po odjęciu równań otrzymujemy $x=7$, a następnie $y=\pm4\sqrt2$. Promień wynosi $3$.

Punkt leżący na okręgu o średnicy $CA$ tworzy z końcami średnicy kąt prosty. Wspólny punkt obu okręgów różny od $C$ musi więc być spodkiem wysokości opuszczonej z $C$ na prostą $AB$.

Mamy $\overrightarrow{AB}=(12,-4)$ i $\overrightarrow{AC}=(5,5)$. Parametr rzutu punktu $C$ na prostą $AB$ wynosi

$t=\frac{\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}}{|AB|^2}=\frac{5\cdot12+5\cdot(-4)}{12^2+(-4)^2}=\frac14.$

Ponieważ $0<t<1$, rzut leży na boku $AB$. Jego współrzędne to

$D=A+\frac14\overrightarrow{AB}=(-3,1)+(3,-1)=(0,0).$

Można też sprawdzić wprost, że równania okręgów o średnicach $CA$ i $CB$ mają postać

$x^2+y^2+x-7y=0,$

$x^2+y^2-11x-3y=0,$

więc punkt $(0,0)$ należy do obu.