MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 89

Okrąg $O_3$ ma środek $S_3=(8,4)$ i promień $R=2\sqrt5$. Środki $S_1,S_2$ leżą na okręgu o środku $S_3$ i promieniu $R-r$, a zarazem $|S_1S_2|=2r$.

Jeżeli odległość prostej $S_1S_2$ od $S_3$ oznaczymy przez $h$, to połowa cięciwy spełnia

$r^2=(R-r)^2-h^2,$

czyli $r=\frac{R^2-h^2}{2R}\le\frac R2$. Największy promień otrzymujemy dla $h=0$, zatem prosta środków przechodzi przez $O$ i $S_3$, a $r=\sqrt5$.

Wektor jednostkowy w kierunku $OS_3$ to $\left(\frac2{\sqrt5},\frac1{\sqrt5}\right)$. Ponieważ $R-r=\sqrt5$, środki wynoszą

$S_1=(8,4)-(2,1)=(6,3),$

$S_2=(8,4)+(2,1)=(10,5).$

Przy styczności zewnętrznej odległość środka okręgu $O_2$ od początku układu jest stale równa sumie promieni:

$|OS_2|=r+s.$

Podczas pełnego obiegu kierunek odcinka $OS_2$ przyjmuje wszystkie możliwe wartości. Środek $S_2$ zakreśla więc okrąg o środku w początku układu i promieniu $r+s$.

Z symetrii względem osi $OY$ środek szukanego okręgu ma postać $S=(0,b)$. Oznaczmy jego promień przez $R$.

Styczność z okręgiem środkowym daje

$|b|=R+1.$

Styczność z każdym z dwóch okręgów o promieniu $2$ daje

$\sqrt{b^2+9}=R+2.$

Po podstawieniu $R=|b|-1$ otrzymujemy

$\sqrt{b^2+9}=|b|+1.$

Po podniesieniu do kwadratu: $9=2|b|+1$, więc $|b|=4$ i $R=3$.

Środki okręgów to $S_1=(1,-2)$ i $S_2=(-3,-k)$, promienie wynoszą $8$ i $4$, a

$|S_1S_2|^2=16+(k-2)^2.$

Jeden punkt wspólny oznacza styczność zewnętrzną albo wewnętrzną.

Dla styczności zewnętrznej $|S_1S_2|=12$, zatem

$(k-2)^2=144-16=128,$

czyli $k=2\pm8\sqrt2$.

Dla styczności wewnętrznej $|S_1S_2|=4$, więc $(k-2)^2=0$ i $k=2$.

Z warunku $r_2=2r_1$ wynika

$|S_1S_2|=\frac{r_1+2r_1}{2}=\frac32r_1.$

Jednocześnie

$|r_2-r_1|=r_1,\qquad r_1+r_2=3r_1.$

Ponieważ

$r_1<\frac32r_1<3r_1,$

odległość środków jest większa od różnicy i mniejsza od sumy promieni. Okręgi mają więc dwa punkty wspólne.

Jeżeli $S=(a,b)$ leży na prostej $4x-3y=0$, to $b=\frac43a$. Odległość środka $S$ od początku układu wynosi

$|OS|=\sqrt{a^2+\frac{16}{9}a^2}=\frac53|a|.$

Okrąg $O_2$ o promieniu $\frac52$ jest rozłączny wewnętrznie z okręgiem $O_1$ o promieniu $5$, gdy

$|OS|<5-\frac52=\frac52.$

Zatem

$\frac53|a|<\frac52,\qquad |a|<\frac32.$

Odległości między środkami są równe:

$|AB|=28,\qquad |AC|=\sqrt{10^2+24^2}=26,$

$|BC|=\sqrt{18^2+24^2}=30.$

Jeżeli promienie okręgów o środkach $A,B,C$ oznaczymy przez $r_A,r_B,r_C$, to styczność zewnętrzna daje układ

$r_A+r_B=28,\quad r_A+r_C=26,\quad r_B+r_C=30.$

Stąd

$r_A=12,\qquad r_B=16,\qquad r_C=14.$

Niech środek $O_3$ będzie równy $T=(t,t)$, jego promień niech wynosi $R$, a $d=|ST|$.

a) Styczność zewnętrzna z $O_1$ i wewnętrzna z $O_2$ daje

$d=R+1=5-R.$

Zatem $R=2$ i $d=3$. Warunek $(t-5)^2+(t-3)^2=9$ prowadzi do

$2t^2-16t+25=0,$

więc $t=4\pm\frac{\sqrt{14}}2$.

b) Tym razem okrąg $O_1$ leży wewnątrz $O_3$, a $O_3$ wewnątrz $O_2$, więc

$d=R-1=5-R.$

Stąd $R=3$, $d=2$. Równanie $(t-5)^2+(t-3)^2=4$ daje $t=3$ lub $t=5$.

Odległość środków okręgów wynosi $9\sqrt2$. Warunek dwóch punktów wspólnych ma postać

$|r-3|<9\sqrt2<r+3.$

Radicalna oś obu okręgów powstaje po odjęciu równań. Na okręgu $x^2+y^2=9$ punkty wspólne spełniają

$x+y=\frac{171-r^2}{18}=:c.$

Dwa punkty przecięcia prostej $x+y=c$ z tym okręgiem nie leżą w otwartej I ćwiartce dokładnie wtedy, gdy $c\le3$. Dla $c=3$ są to punkty $(3,0)$ i $(0,3)$, a dla mniejszych $c$ przynajmniej jedna współrzędna każdego punktu jest niedodatnia. Warunek ten daje

$\frac{171-r^2}{18}\le3,\qquad r^2\ge117,\qquad r\ge3\sqrt{13}.$

Po połączeniu z warunkiem przecinania się, którego górna granica to $r<9\sqrt2+3$, otrzymujemy szukany przedział.