MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 88

Dla okręgów o odległości środków $d$ i promieniach $r_1,r_2$ porównujemy $d$ z $r_1+r_2$ oraz $|r_1-r_2|$.

a) $d=3$, $r_1=2$, $r_2=5$. Ponieważ $d=|r_1-r_2|$, okręgi są styczne wewnętrznie i mają jeden punkt wspólny.

b) $d=\sqrt{65}$, $r_1=\sqrt7$, $r_2=2$. Ponieważ $d>r_1+r_2$, okręgi nie mają punktów wspólnych.

c) $d=2$, $r_1=2$, $r_2=1$. Zachodzi $1<2<3$, więc okręgi mają dwa punkty wspólne.

d) $d=2\sqrt{29}=r_1+r_2$, więc okręgi są styczne zewnętrznie i mają jeden punkt wspólny.

e) $d=\sqrt{17}$, $r_1=\sqrt6$, $r_2=\sqrt5$. Zachodzi $|r_1-r_2|<d<r_1+r_2$, więc okręgi mają dwa punkty wspólne.

Po sprowadzeniu równań do postaci kanonicznej otrzymujemy:

a) $S_1=(-9,2)$, $r_1=3$, $S_2=(-5,-3)$, $r_2=4$, $d=\sqrt{41}$. Ponieważ $1<\sqrt{41}<7$, okręgi się przecinają.

b) $S_1=(0,-10)$, $r_1=13$, $S_2=(8,4)$, $r_2=3$, $d=2\sqrt{65}>16=r_1+r_2$. Okręgi są rozłączne zewnętrznie.

c) $S_1=(5,7)$, $r_1=2$, $S_2=(-2,8)$, $r_2=5$, $d=\sqrt{50}>7=r_1+r_2$. Okręgi są rozłączne zewnętrznie.

d) $S_1=(4,-3)$, $r_1=4$, $S_2=(-10,7)$, $r_2=10\sqrt6$, $d=2\sqrt{74}<10\sqrt6-4$. Okręgi są rozłączne wewnętrznie.

e) $S_1=(-2,-3)$, $r_1=3$, $S_2=(13,5)$, $r_2=20$, $d=17=r_2-r_1$. Okręgi są styczne wewnętrznie.

Dany okrąg ma postać

$(x-3)^2+y^2=9,$

więc ma środek $S_1=(3,0)$ i promień $3$. Odległość od $S_1$ do środka szukanego okręgu $S=(6,4)$ wynosi $5$. Przy styczności zewnętrznej suma promieni jest równa odległości środków, zatem

$R+3=5,\qquad R=2.$

Środki okręgów to $S_1=(7,9)$ i $S_2=(-5,3)$, a ich promienie wynoszą odpowiednio $4\sqrt5$ i $\sqrt5$. Odległość środków jest równa

$d=\sqrt{12^2+6^2}=6\sqrt5.$

a) Przy styczności zewnętrznej nowy promień $R$ spełnia $R+\sqrt5=6\sqrt5$, więc $R=5\sqrt5$. Wzrost względem $4\sqrt5$ wynosi $\frac14=25\%$.

b) Przy styczności wewnętrznej okrąg $O_2$ leży wewnątrz powiększonego $O_1$, zatem $R-\sqrt5=6\sqrt5$. Stąd $R=7\sqrt5$, czyli wzrost wynosi $\frac34=75\%$.

Z symetrii oba szukane okręgi mają środek w punkcie $(0,0)$. Odległość tego punktu od każdego z punktów $A,B,C,D$ wynosi $2\sqrt2$.

Dla okręgu stycznego zewnętrznie promień $R_1$ spełnia

$R_1+2=2\sqrt2,$

więc $R_1=2\sqrt2-2$ i $R_1^2=12-8\sqrt2$.

Dla okręgu obejmującego cztery dane okręgi i stycznego do nich wewnętrznie:

$R_2=2\sqrt2+2,$

więc $R_2^2=12+8\sqrt2$. Różnica długości okręgów wynosi

$2\pi(R_2-R_1)=2\pi\cdot4=8\pi.$

Okręgi $O_1$ i $O_2$ mają promienie $3\sqrt2$, a odległość ich środków wynosi $6$, więc się przecinają. Okrąg $O_3$ ma środek w początku układu, oddalony o $3$ od każdego z pozostałych środków.

Warunek styczności wewnętrznej $O_3$ z każdym z okręgów $O_1,O_2$ ma postać

$|r-3\sqrt2|=3.$

Stąd

$r=3\sqrt2-3\quad\text{lub}\quad r=3\sqrt2+3.$

Obie wartości są dodatnie i spełniają warunki.