MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 82

Stosujemy wzór na odległość punktu od prostej i rozwiązujemy równania z wartością bezwzględną.

a)

$$\frac{|p-1+2|}{\sqrt2}=\sqrt2 \iff |p+1|=2,$$

więc $p=-3$ lub $p=1$.

b)

$$\frac{|2\cdot(-3)-3p+1|}{\sqrt{13}} =\frac{2\sqrt{13}}{13} \iff |3p+5|=2,$$

stąd $p=-\frac73$ lub $p=-1$.

c)

$$\frac{|2p-\sqrt5-1|}{3}=\frac{3-\sqrt5}{3} \iff |2p-\sqrt5-1|=3-\sqrt5,$$

zatem $p=2$ lub $p=\sqrt5-1$.

d)

$$\frac{|4p+3p+13|}{5}=\frac15 \iff |7p+13|=1,$$

więc $p=-2$ lub $p=-\frac{12}{7}$.

Prosta pionowa $x=0$ przechodzi przez $A$, lecz jej odległość od $B$ wynosi $1$, więc nie spełnia warunku. Pozostałe proste przez $A$ mają postać

$$y=mx+4,$$

czyli $mx-y+4=0$. Warunek odległości punktu $B=(-1,1)$ daje

$$\frac{|-m-1+4|}{\sqrt{m^2+1}}=2\sqrt2.$$

Po podniesieniu do kwadratu:

$$(m-3)^2=8(m^2+1) \iff 7m^2+6m-1=0.$$

Stąd $m=-1$ lub $m=\frac17$.

Każda prosta równoległa do danej ma postać

$$4x-3y+c=0.$$

Jej odległość od prostej $4x-3y-5=0$ wynosi

$$\frac{|c-(-5)|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=\frac{|c+5|}{5}.$$

Warunek $\frac{|c+5|}{5}=5$ daje $|c+5|=25$, zatem $c=-30$ lub $c=20$.

Stosujemy wzór Gaussa dla kolejno zapisanych wierzchołków:

$$P=\frac12\left| \left(-\frac32\cdot\frac32+3\cdot4+ \frac32\cdot\frac52-2\cdot0\right) -\left(0\cdot3+\frac32\cdot\frac32+ 4\cdot(-2)+\frac52\cdot\left(-\frac32\right)\right) \right|.$$

Pierwsza suma wynosi $\frac{27}{2}$, druga $-\frac{19}{2}$, więc

$$P=\frac12\left|\frac{46}{2}\right|=\frac{23}{2}.$$

Niech $C=(t,3-t)$, ponieważ $C$ leży na prostej $y=3-x$. Prosta $AB$ ma równanie $x-2y=0$. Wysokość z $C$ jest zatem równa

$$\frac{|t-2(3-t)|}{\sqrt5} =\frac{3|t-2|}{\sqrt5}.$$

Z warunku zadania

$$\frac{3|t-2|}{\sqrt5}=\frac{12\sqrt5}{5} =\frac{12}{\sqrt5},$$

więc $|t-2|=4$. Stąd $t=-2$ lub $t=6$.

Punkt przecięcia prostych zawierających $AB$ i $AC$ jest wierzchołkiem $A$. Z układu

$$x+y-1=0,\qquad x-y+3=0$$

otrzymujemy $A=(-1,2)$.

Niech $B=(t,1-t)$. Jego odległość od prostej $AC$ ma wynosić $3\sqrt2$, więc

$$\frac{|t-(1-t)+3|}{\sqrt2}=3\sqrt2 \iff |2t+2|=6.$$

Stąd $B=(2,-1)$ lub $B=(-4,5)$.

Niech z kolei $C=(u,u+3)$. Warunek wysokości opuszczonej z $C$ na $AB$ daje

$$\frac{|u+(u+3)-1|}{\sqrt2}=6\sqrt2 \iff |2u+2|=12.$$

Zatem $C=(5,8)$ lub $C=(-7,-4)$. Każdy wybór jednego z dwóch punktów $B$ i jednego z dwóch punktów $C$ daje trójkąt spełniający warunki.

Szukana prosta jest równoległa do $k$ i $l$, więc zapisujemy ją jako

$$p:\ 2x-y+c=0.$$

Proste $k$ i $l$ mają odpowiednio stałe $-3$ i $3$. Warunek zadania ma więc postać

$$\frac{|c-3|}{\sqrt5} =2\frac{|c-(-3)|}{\sqrt5},$$

czyli $|c-3|=2|c+3|$. Po podniesieniu do kwadratu:

$$(c-3)^2=4(c+3)^2,$$

skąd $c=-9$ lub $c=-1$.

a) Niech szukany punkt będzie równy $P=(t,0)$. Równość odległości od obu prostych daje

$$\frac{|t-6|}{\sqrt2}=\frac{|7t|}{\sqrt{50}} \iff 5|t-6|=7|t|.$$

Po podniesieniu do kwadratu otrzymujemy $2t^2+25t-75=0$, zatem $t=-15$ lub $t=\frac52$.

b) Dla $P=(0,t)$ warunek ma postać

$$\frac{|-t-3|}{\sqrt2}=\frac{|-t-6|}{\sqrt2}.$$

Punkt jest więc w połowie odległości między dwiema równoległymi prostymi, czyli $t=-\frac92$.

Szukana prosta jest równoległa do $l$, więc ma postać

$$p:\ 2\sqrt5x+4y+c=0.$$

Jej odległość od $l$ wynosi $\frac{|c-15|}{6}$. Odległość punktu $P=(2,-\sqrt5)$ od $p$ jest równa

$$\frac{|2\sqrt5\cdot2+4(-\sqrt5)+c|}{6}=\frac{|c|}{6}.$$

Zatem $|c-15|=|c|$, skąd $c=\frac{15}{2}$. Po pomnożeniu równania przez $2$ otrzymujemy postać bez ułamków.