MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 81

Korzystamy ze wzoru

$$d\big((x_0,y_0),Ax+By+C=0\big) =\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}.$$

Otrzymujemy:

$$\begin{array}{c|c} \text{podpunkt}&d(K,p)\\ \hline \text{a)}&\dfrac{|4\cdot7+3\cdot5-18|}{5}=5\\ \text{b)}&\dfrac{|\sqrt5|}{\sqrt5}=1\\ \text{c)}&\dfrac{|5\cdot3-2|}{13}=1\\ \text{d)}&\dfrac{|2\cdot1-3\cdot0-15|}{\sqrt{13}}=\sqrt{13}\\ \text{e)}&\dfrac{|3\cdot(-5)-5\cdot(-7)-20|}{\sqrt{34}}=0\\ \text{f)}&\dfrac{|2\cdot(-2)-2\cdot(-\frac32)+3|}{2\sqrt2} =\frac{\sqrt2}{2} \end{array}$$

Długości boków trójkąta są równe

$$|AB|=10,\qquad |BC|=5,\qquad |CA|=3\sqrt{17}.$$

Pole obliczamy z wyznacznika wektorów $\overrightarrow{AB}=(-8,6)$ i $\overrightarrow{AC}=(-12,3)$:

$$P=\frac12|(-8)\cdot3-6\cdot(-12)|=24.$$

Jeżeli $h_A,h_B,h_C$ są wysokościami opuszczonymi odpowiednio na boki $BC,CA,AB$, to z równości $P=\frac12ah$ mamy

$$h_A=\frac{48}{5},\qquad h_B=\frac{48}{3\sqrt{17}}=\frac{16\sqrt{17}}{17},\qquad h_C=\frac{48}{10}=\frac{24}{5}.$$

Ich suma wynosi

$$h_A+h_B+h_C=\frac{72}{5}+\frac{16\sqrt{17}}{17}.$$

Prostą zapisujemy w postaci ogólnej:

$$ax-y+b=0.$$

Dla początku układu $O=(0,0)$ wzór na odległość punktu od prostej daje

$$d(O,p)=\frac{|a\cdot0-0+b|}{\sqrt{a^2+(-1)^2}} =\frac{|b|}{\sqrt{a^2+1}}.$$

a) Punkt $A$ nie leży na prostej $x-2y-12=0$. Długość boku kwadratu jest więc odległością $A$ od prostej zawierającej bok:

$$s=\frac{|-1-2\cdot(-4)-12|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}} =\frac5{\sqrt5}=\sqrt5.$$

Stąd $P=s^2=5$.

b) Proste $7x-y-8=0$ i $7x-y+7=0$ są równoległe i zawierają przeciwległe boki kwadratu. Ich odległość jest długością boku:

$$s=\frac{|7-(-8)|}{\sqrt{7^2+(-1)^2}} =\frac{15}{\sqrt{50}}=\frac{3\sqrt2}{2}.$$

Zatem $P=s^2=\frac92$.

a) Mamy $|AB|=6$, $|AC|=|BC|=5$ oraz $P=\frac12\cdot6\cdot4=12$. Wysokość na $AB$ ma długość $4$, a pozostałe dwie:

$$h=\frac{2P}{5}=\frac{24}{5}.$$

Liczby $4,\frac{24}{5},\frac{24}{5}$ spełniają nierówności trójkąta, więc mogą być długościami jego boków.

b) Mamy $|AB|=4$, $|AC|=|BC|=2\sqrt{17}$ oraz $P=\frac12\cdot4\cdot8=16$. Wysokości mają długości

$$8,\qquad \frac{2P}{2\sqrt{17}} =\frac{16\sqrt{17}}{17},\qquad \frac{16\sqrt{17}}{17}.$$

Ponieważ

$$2\cdot\frac{16\sqrt{17}}{17}<8,$$

te trzy liczby nie spełniają nierówności trójkąta.

Wyznaczamy przecięcia każdej pary prostych. Dla pierwszej i drugiej prostej otrzymujemy

$$5x+2(3x+10)-20=0,$$

więc pierwszy wierzchołek to $(0,10)$. Analogicznie pozostałe pary dają punkty $(6,-5)$ i $(-3,1)$.

Pole obliczamy z wyznacznika dwóch boków wychodzących z $(0,10)$:

$$P=\frac12\left| \begin{vmatrix}6&-15\\-3&-9\end{vmatrix} \right| =\frac12|-54-45|=\frac{99}{2}.$$

Prosta $AB$ ma równanie $y+5=0$. Równania pozostałych boków to

$$AC:\ 12x-5y+47=0, \qquad BC:\ 4x+3y-17=0.$$

Odległości środka $S=(0,-1)$ od tych trzech prostych są równe

$$d(S,AB)=\frac{|-1+5|}{1}=4,$$ $$d(S,AC)=\frac{|5+47|}{13}=4, \qquad d(S,BC)=\frac{|-3-17|}{5}=4.$$

Punkt $S$ leży wewnątrz trójkąta, a jego odległość od każdego boku jest równa promieniowi danego okręgu. Każdy bok jest więc styczny do okręgu, co dowodzi, że okrąg jest wpisany w trójkąt.

Proste zawierające boki rombu mają równania

$$AB:\ x-y-2=0,\qquad CD:\ x-y+6=0,$$ $$AD:\ x+7y-10=0,\qquad BC:\ x+7y-50=0.$$

Każda odległość punktu $P=(2,4)$ od jednej z tych prostych jest równa $2\sqrt2$. Zatem

$$k=4\cdot2\sqrt2=8\sqrt2.$$

Odległości między parami prostych zawierających przeciwległe boki wynoszą

$$d(AB,CD)=\frac8{\sqrt2}=4\sqrt2,$$ $$d(AD,BC)=\frac{40}{\sqrt{50}}=4\sqrt2,$$

więc $l=8\sqrt2$.

Ponadto

$$|AC|=2\sqrt{10},\qquad |BD|=4\sqrt{10},\qquad |AB|=5\sqrt2.$$

Stąd

$$m=\frac{|AC|\,|BD|}{|AB|} =\frac{(2\sqrt{10})(4\sqrt{10})}{5\sqrt2}=8\sqrt2.$$