MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 83

Punkty dwusiecznych są równo oddalone od obu prostych, więc

$$\frac{x+y+1}{\sqrt2} =\pm\frac{7x+y+4}{\sqrt{50}}.$$

Po pomnożeniu przez $5\sqrt2$ rozpatrujemy równania $5(x+y+1)=7x+y+4$ oraz $5(x+y+1)=-(7x+y+4)$. Po uproszczeniu otrzymujemy dwie proste.

Mamy $\overrightarrow{AB}=(4,8)$, więc $|AB|=4\sqrt5$, a prosta $AB$ ma równanie $2x-y-10=0$. Druga podstawa leży na równoległej prostej $2x-y=0$, zatem wysokość trapezu wynosi $2\sqrt5$.

Ze wzoru na pole:

$$30=\frac{(4\sqrt5+|CD|)\,2\sqrt5}{2},$$

otrzymujemy $|CD|=2\sqrt5$. Środek $AB$ to $(6,2)$. Prosta prostopadła do podstaw przechodząca przez ten punkt przecina $y=2x$ w punkcie $(2,4)$, który jest środkiem $CD$. Wektor połowy podstawy równoległy do $(1,2)$ wynosi $(1,2)$, więc $D=(1,2)$ i $C=(3,6)$.

Wektory wychodzące z punktu $A=(0,0)$ mają postać $\overrightarrow{AB}=(p,q)$ oraz $\overrightarrow{AC}=(r,s)$. Pole trójkąta jest połową wartości bezwzględnej ich wyznacznika:

$$P=\frac12\left|\det\begin{pmatrix}p&r\\q&s\end{pmatrix}\right| =\frac{|ps-qr|}{2}.$$

Punkt prostej $x+2y=0$ zapisujemy jako $(t,-\frac t2)$. Równość odległości od danych prostych ma postać

$$\frac{|\frac t2+1|}{\sqrt2} =\frac{|\frac{15t}{2}+5|}{\sqrt{50}}.$$

Po skróceniu dostajemy $|t+2|=|3t+2|$, skąd $t=0$ lub $t=-1$.

Drugą prostą dzielimy przez $2$: $3x-2y+\frac{11}{2}=0$. Prosta równo odległa od dwóch prostych równoległych ma wyraz wolny równy średniej ich wyrazów wolnych:

$$c=\frac{-5+\frac{11}{2}}{2}=\frac14.$$

Zatem $3x-2y+\frac14=0$. Mnożymy równanie przez $4$.

Odległość danych prostych jest równa

$$\frac{|11-(-1)|}{\sqrt{2^2+6^2}} =\frac{12}{2\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}5.$$

Dla punktu leżącego w pasie między prostymi suma jego odległości od obu brzegów pasa jest właśnie ich wzajemną odległością. Poza pasem suma jest większa. Jest to zatem wartość najmniejsza.

Prostą zapisujemy jako $ax-y+1=0$. Odległości punktów $A$ i $B$ są równe

$$d_A=\frac{4|2a+1|}{\sqrt{a^2+1}},\qquad d_B=\frac{4|a-2|}{\sqrt{a^2+1}}.$$

Warunek $d_Ad_B=40$ prowadzi do

$$2|2a^2-3a-2|=5(a^2+1).$$

Gdy wyrażenie pod wartością bezwzględną jest nieujemne, dostajemy $(a+3)^2=0$; w przeciwnym przypadku $(3a-1)^2=0$. Obie wartości spełniają odpowiedni warunek znaku.

Dla punktu $(t,0)$ suma odległości jest równa

$$\frac{|t|+|t+5|+|t+15|}{\sqrt5}.$$

Warunek z zadania jest więc równoważny równaniu $|t|+|t+5|+|t+15|=70$. Rozpatrujemy przedziały wyznaczone przez $-15,-5,0$. Dla $t\le -15$ otrzymujemy $-3t-20=70$, czyli $t=-30$. Dla $t\ge0$ mamy $3t+20=70$, czyli $t=\frac{50}{3}$. Dwa środkowe przedziały nie dają dopuszczalnych rozwiązań.

Odległość punktu $(x,y)$ od prostej $ax-y+1=0$ wynosi $\frac{|ax-y+1|}{\sqrt{a^2+1}}$. Dla $a\in[-1;1]$ suma liczników dla trzech wierzchołków jest równa

$$|1-a|+|1+a|+|1-\sqrt3|=2+\sqrt3-1=1+\sqrt3.$$

Zatem $d(a)=\frac{1+\sqrt3}{\sqrt{a^2+1}}$. Mianownik jest najmniejszy dla $a=0$, więc wtedy suma jest największa.

Po zsumowaniu odległości par przeciwległych wierzchołków od prostej $ax-y=0$ dostajemy

$$\frac{2\bigl(|a-7|+|7a+1|\bigr)}{\sqrt{a^2+1}}=20.$$

Punkty zmiany znaków to $a=-\frac17$ i $a=7$. W środkowym przedziale równanie po podniesieniu do kwadratu redukuje się do $(4a-3)^2=0$, więc $a=\frac34$. W przedziale $a\le-\frac17$ otrzymujemy $(3a+4)^2=0$, więc $a=-\frac43$. Równanie dla $a\ge7$ nie ma wartości zgodnej z tym przedziałem.