MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 78

Środki kolejnych boków to

$$S_{AB}=(1,-8),\quad S_{BC}=(5,0),\quad S_{CD}=(-3,6),\quad S_{DA}=(-7,-2).$$

Kwadraty ich odległości od początku układu wynoszą odpowiednio

$$65,\quad25,\quad45,\quad53.$$

Największa wartość to $65$.

Środki boków $BC$, $AC$ i $AB$ są równe odpowiednio $(-1,5)$, $(3,-1)$ i $(5,3)$. Długości środkowych wychodzących z $A,B,C$ wynoszą więc

$$\sqrt{(-10)^2+8^2}=2\sqrt{41},$$ $$\sqrt{2^2+(-10)^2}=2\sqrt{26},$$ $$\sqrt{8^2+2^2}=2\sqrt{17}.$$

Największa jest pierwsza z tych liczb.

Środki odcinków $AB$, $BC$, $CD$ to

$$K=(-4,-7),\qquad L=(-2,-3),\qquad M=(3,7).$$

Wektory $\overrightarrow{KL}=(2,4)$ i $\overrightarrow{LM}=(5,10)$ są proporcjonalne. Wszystkie trzy punkty spełniają też równanie $y=2x+1$.

Środki odcinków $AB,CD,EF,GH$ to

$$(1,-5),\ (5,-1),\ (-1,5),\ (-5,1).$$

Kolejne boki pierwszego czworokąta mają długości $4\sqrt2,6\sqrt2,4\sqrt2,6\sqrt2$, więc jego obwód wynosi $20\sqrt2$.

Środki odcinków $BC,DE,FG,HA$ to

$$(4,-4),\ (3,3),\ (-4,4),\ (-3,-3).$$

Każdy bok drugiego czworokąta ma długość $\sqrt{50}=5\sqrt2$, więc jego obwód również jest równy $20\sqrt2$.

Bok $BC$ jest poziomy, ma środek $(1,5)$, więc jego symetralna ma równanie $x=1$. Niech punkt przecięcia symetralnych będzie zatem $S=(1,t)$. Z warunku $SA=SB$:

$$(1+2)^2+(t+3)^2=(1-6)^2+(t-5)^2.$$

Po uproszczeniu otrzymujemy $t=2$. Wtedy

$$SA=SB=SC=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}.$$

Porównujemy obie współrzędne punktu $S$ ze średnimi współrzędnych końców.

a) Pierwsza współrzędna daje $m=2$; druga jest już równa $7$.

b) $\frac{m+3}{2}=m-2$, więc $m=7$; druga współrzędna jest zgodna.

c) $\frac{m-1}{2}=m$ i $\frac{m+5}{2}=2$, więc w obu przypadkach $m=-1$.

d) $\frac{3m+3}{2}=m+2$, zatem $m=1$; drugie równanie jest tożsamością.

e) Oba równania współrzędnych dają $m=0$.

f) Z pierwszej współrzędnej $m\in\{3,-5\}$, a z drugiej $m\in\{3,-2\}$. Wspólna wartość to $m=3$.

a) Z równań środka

$$\frac{x+5}{2}=1,\qquad \frac{-4+y}{2}=2$$

otrzymujemy $x=-3$, $y=8$. Zatem $AB=\sqrt{8^2+12^2}=4\sqrt{13}$.

b) Warunki środka mają postać

$$\frac{2x+y}{2}=1,\qquad \frac{x}{2}=2.$$

Stąd $x=4$, $y=-6$, czyli $A=(4,-6)$ i $B=(-2,10)$. Zatem $AB=\sqrt{(-6)^2+16^2}=2\sqrt{73}$.

Warunek $AD:DB=3:1$ oznacza, że

$$D=A+\frac34(B-A) =(-3,-3)+\frac34(8,-4)=(3,-6).$$

Wobec tego

$$|CD|=\sqrt{(3-1)^2+(-6-3)^2} =\sqrt{4+81}=\sqrt{85}.$$

Niech końce odcinka będą równe $A=(a,0)$ i $B=(0,b)$, gdzie $a,b>0$. Warunek długości daje

$$a^2+b^2=100.$$

Środkiem jest $S=(\frac a2,\frac b2)$, zatem

$$OS=\sqrt{\left(\frac a2\right)^2+\left(\frac b2\right)^2} =\frac12\sqrt{a^2+b^2}=5.$$

Wynik nie zależy od konkretnych wartości $a,b$.