MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 79

Wektor jednej części podziału jest równy

$$\overrightarrow{BC}=C-B=(5,-7).$$

Ponieważ punkty występują kolejno $A,B,C,D,E$, cofamy ten wektor raz od $B$ i dodajemy go kolejno do $C$:

$$A=B-(5,-7)=(-23,17),$$ $$D=C+(5,-7)=(-8,-4),\qquad E=D+(5,-7)=(-3,-11).$$

Wektor jednej z pięciu równych części jest równy

$$v=R-Q=(-2,8).$$

Punkt $Q$ leży o dwa takie wektory od $A$, a punkt $B$ o trzy takie wektory od $Q$. Stąd

$$A=Q-2v=(-33,-47),$$ $$B=Q+3v=(-43,-7).$$

Środki boków $BC$, $CA$, $AB$ to odpowiednio $(4,4)$, $(0,4)$, $(4,0)$. Długości środkowych wynoszą więc

$$4\sqrt2,\qquad4\sqrt5,\qquad4\sqrt5.$$

Trójkąt $T$ jest równoramienny. Wysokość opuszczona na podstawę $4\sqrt2$ ma długość

$$\sqrt{(4\sqrt5)^2-(2\sqrt2)^2}=6\sqrt2.$$

Zatem $P_T=\frac12(4\sqrt2)(6\sqrt2)=24$.

Środki wynoszą $P=(4,6)$ i $Q=(-1,5)$. Wzór Gaussa dla czworokąta $ABCD$ daje

$$P_{ABCD}=52.$$

Dla trójkąta $APQ$ mamy wektory $\overrightarrow{AP}=(1,8)$ i $\overrightarrow{AQ}=(-4,7)$, więc

$$P_{APQ}=\frac12|1\cdot7-8\cdot(-4)|=\frac{39}{2}.$$

Stosunek pól jest równy

$$\frac{39/2}{52}=\frac38=37{,}5\%.$$

Jeżeli $K,L,M$ są środkami trzech boków, to wierzchołki można odzyskać ze wzorów

$$A=K+L-M=(5,2),$$ $$B=K+M-L=(-1,0),\qquad C=L+M-K=(1,4).$$

Kwadraty długości boków wynoszą

$$AB^2=40,\qquad AC^2=20,\qquad BC^2=20.$$

Zatem $AC=BC=2\sqrt5$.

Z podanych stosunków otrzymujemy

$$K=A+\frac12(B-A)=(2,-4),$$ $$L=B+\frac14(C-B)=(7,-3),$$ $$M=C+\frac18(A-C)=(3,5).$$

Kwadraty boków trójkąta $KLM$ są równe

$$KL^2=26,\qquad KM^2=82,\qquad LM^2=80.$$

Żadne dwie długości nie są równe.

Wektor $\overrightarrow{AB}=(52,-36)$.

a) Stosunek $1:3$ oznacza przesunięcie od $A$ o $\frac14$ wektora $AB$:

$$P=A+\frac14\overrightarrow{AB}=(1,-1).$$

b) Stosunek $3:5$ oznacza przesunięcie o $\frac38$ wektora:

$$P=A+\frac38\overrightarrow{AB} =\left(\frac{15}{2},-\frac{11}{2}\right).$$

Dla $n\ge2$ warunek, że $A_{n-1}$ jest środkiem $A_0A_n$, daje

$$A_n=2A_{n-1}-A_0.$$

Po odjęciu $A_0$ dostajemy

$$A_n-A_0=2(A_{n-1}-A_0).$$

Ponieważ $A_1-A_0=(1,2)$, mamy $A_n-A_0=2^{n-1}(1,2)$. Dla $n=10$:

$$A_{10}=(1,2)+512(1,2)=(513,1026).$$

Środek boku $AB$ to $M=(5,-1)$. Ponieważ nachylenie $AB$ wynosi $\frac12$, jego symetralna ma równanie $y=-2x+9$.

Środek boku $BC$ to $N=(5,4)$, więc środkowa $AN$ ma równanie $y=3x-11$. Ich punkt przecięcia to $P=(4,1)$.

Na symetralnej odcinek zawarty w trójkącie ma końce $M=(5,-1)$ i $Q=(3,3)$, gdzie prosta przecina bok $AC$. Punkt $P$ jest środkiem $MQ$. Jednocześnie

$$P=\left(\frac{3+5}{2},\frac{-2+4}{2}\right)$$

jest środkiem odcinka $AN$. Jest więc wspólnym środkiem obu odcinków.

Niech $A=(x_A,y_A)$, $B=(x_B,y_B)$, $C=(x_C,y_C)$. Pierwsze współrzędne środków boków to

$$\frac{x_A+x_B}{2},\quad \frac{x_B+x_C}{2},\quad \frac{x_C+x_A}{2}.$$

Ich suma wynosi $x_A+x_B+x_C$. Dokładnie ten sam rachunek dla drugich współrzędnych daje $y_A+y_B+y_C$.

Punkt $B$ jest odbiciem punktu $A$ względem prostej $3x+2y-19=0$. Dla $A(4,10)$ wartość lewej strony wynosi $13$, a $3^2+2^2=13$, więc wzór na odbicie daje

$$B=\left(4-\frac{2\cdot3\cdot13}{13}, 10-\frac{2\cdot2\cdot13}{13}\right)=(-2,6).$$

Analogicznie $C$ jest odbiciem $A$ względem prostej $x+2y-9=0$. Wartość lewej strony w $A$ wynosi $15$, a $1^2+2^2=5$, zatem

$$C=\left(4-\frac{2\cdot15}{5}, 10-\frac{4\cdot15}{5}\right)=(-2,-2).$$