MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 77

Punkt prostej ma postać $X=(x,-2x+8)$. Warunek $XP\le10$ daje

$$x^2+(-2x+4)^2\le100,$$

czyli

$$5x^2-16x-84\le0.$$

Pierwiastkami trójmianu są $-\frac{14}{5}$ i $6$, więc $x\in[-\frac{14}{5},6]$. Odpowiadające punkty krańcowe to $(-\frac{14}{5},\frac{68}{5})$ i $(6,-4)$.

Wektor $\overrightarrow{AB}=(2,4)$, a $|AB|=2\sqrt5$. Ponieważ $C$ leży na tej samej prostej i $|AC|=k|AB|$, jego wektor od $A$ jest równy $k\overrightarrow{AB}$ albo $-k\overrightarrow{AB}$. Zatem

$$C=A\pm k(B-A)=(-1,-7)\pm(2k,4k).$$

Niech $C=(t,t-2)$. Wektory wychodzące z $A$ to

$$\overrightarrow{AB}=(3,1),\qquad \overrightarrow{AC}=(t-2,t-2).$$

Pole jest równe połowie modułu wyznacznika:

$$P=\frac12|3(t-2)-(t-2)|=|t-2|.$$

Warunek $P=5$ daje $t=7$ albo $t=-3$.

Niech $C=(x,y)$. Wektor $\overrightarrow{AD}=(1,0)$ jest kierunkiem wysokości z $A$, zatem bok $BC$ jest pionowy i $x=-1$.

Wektor $\overrightarrow{BD}=(3,-2)$ jest prostopadły do $AC$. Dla $C=(-1,y)$ mamy $\overrightarrow{AC}=(-2,y-3)$, więc

$$(3,-2)\cdot(-2,y-3)=-2y=0.$$

Stąd $C=(-1,0)$. Odcinek $BC$ ma długość $5$, a odległość punktu $A$ od pionowej prostej $BC$ wynosi $2$.

Długości boków wynoszą

$$AB=13,\qquad AC=10,\qquad BC=\sqrt{137}.$$

Dla kąta naprzeciw boku $a$ korzystamy z twierdzenia cosinusów. Otrzymujemy

$$\cos A=\frac{169+100-137}{2\cdot13\cdot10}=\frac{33}{65}>\frac12,$$ $$\cos B=\frac{169+137-100}{2\cdot13\sqrt{137}}>\frac12,$$

natomiast

$$\cos C=\frac{100+137-169}{2\cdot10\sqrt{137}}<\frac12.$$

Zatem kąty $A$ i $B$ są mniejsze od $60^\circ$, a kąt $C$ jest większy od $60^\circ$.

W każdym podpunkcie zrównujemy kwadraty odpowiednich odległości.

a) $y^2=x^2+(y-5)^2$, więc $y=\frac1{10}x^2+\frac52$.

b) $x^2=(x-2)^2+(y-4)^2$, zatem $x=\frac14y^2-2y+5$.

c) $(x-5)^2=(x-1)^2+(y-2)^2$, zatem $x=-\frac18y^2+\frac12y+\frac52$.

d) $(x-2)^2+(y-6)^2=(x-6)^2+(y-2)^2$, co po uproszczeniu daje $y=x$.