MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 76

a) Proste przecinają oś $OX$ w punktach $(2,0)$ i $(-4,0)$, a siebie nawzajem w punkcie $(-2,4)$. Podstawa trójkąta ma długość $6$, a wysokość $4$, zatem

$$P=\frac12\cdot6\cdot4=12.$$

Pozostałe boki mają długości $2\sqrt5$ i $4\sqrt2$, więc $Ob=6+2\sqrt5+4\sqrt2$.

b) Rozwiązanie kolejnych układów par równań prostych daje wierzchołki

$$(2,4),\qquad(5,-2),\qquad(-2,2).$$

Proste $y=\frac12x+3$ i $y=-2x+8$ mają iloczyn współczynników kierunkowych równy $-1$, więc są prostopadłe. Trójkąt jest prostokątny w punkcie $(2,4)$.

c) Niech dodatnie odcięte na osiach będą równe $u$ i $v$. Warunek pola daje $uv=12$, a przejście przez $(1,3)$ daje

$$\frac1u+\frac3v=1.$$

Po podstawieniu $v=12/u$ otrzymujemy $(u-2)^2=0$, czyli $u=2$, $v=6$. Równanie prostej to $\frac x2+\frac y6=1$.

a) Wszystkie cztery boki mają długość

$$AB=BC=CD=DA=\sqrt{40}=2\sqrt{10},$$

więc czworokąt jest rombem. Jego przekątne mają długości

$$AC=\sqrt{8^2+8^2}=8\sqrt2, \qquad BD=\sqrt{(-4)^2+4^2}=4\sqrt2.$$

Stąd

$$P=\frac{AC\cdot BD}{2}=32, \qquad h=\frac{P}{2\sqrt{10}}=\frac{8\sqrt{10}}5.$$

b) Dana przekątna ma długość $AC=2\sqrt{10}$. Jeśli druga ma długość $d$, to z trójkąta prostokątnego z połówek przekątnych

$$(5\sqrt2)^2=(\sqrt{10})^2+\left(\frac d2\right)^2.$$

Zatem $d=4\sqrt{10}$ i $P=\frac12(2\sqrt{10})(4\sqrt{10})=40$.

Prosta przecina osie w punktach $A(0,-2)$ i $B(4,0)$, zatem $a=-2$, $b=4$.

a) Otrzymujemy $C(0,6)$, $D(2,0)$. Wzór Gaussa dla wielokąta $A,B,C,D$ daje pole $8$. Długości boków to $2\sqrt5,2\sqrt{13},2\sqrt{10},2\sqrt2$.

b) Otrzymujemy $C(8,0)$, $D(2,4)$. Wzór Gaussa daje pole $18$, a długości kolejnych boków wynoszą $2\sqrt5,4,2\sqrt{13},2\sqrt{10}$.

Z warunku przynależności do wykresu mamy

$$a=f(0)=3,\qquad 0=f(b)=3b+3,$$

czyli $a=3$, $b=-1$. Stąd $A(0,3)$, $B(-1,0)$ i $C(3,2)$. Wektory

$$\overrightarrow{AB}=(-1,-3),\qquad \overrightarrow{AC}=(3,-1)$$

mają iloczyn skalarny $0$, a oba boki mają długość $\sqrt{10}$. Trójkąt jest prostokątny i równoramienny przy $A$; trzeci bok ma długość $2\sqrt5$.

W każdym podpunkcie podnosimy równanie odległości do kwadratu.

a) $(x+1)^2+4=4$, więc $x=-1$.

b) $(4x)^2+3^2=25$, więc $x^2=1$.

c) $(2x+1)^2+(3-x)^2=49$, czyli $5x^2-2x-39=0$. Pierwiastki to $3$ i $-\frac{13}{5}$.

d) Odległość jest równa $|-2x|=2|x|$, zatem $2|x|=4$.

Dla dowolnego punktu $X(x,y)$ warunek $XA=XB$ po podniesieniu do kwadratu upraszcza się do

$$(x-1)^2+(y-2)^2=(x-5)^2+(y-4)^2 \iff 2x+y=9.$$

a) Na osi $OX$ mamy $y=0$, więc $x=\frac92$.

b) Na osi $OY$ mamy $x=0$, więc $y=9$.

c) Po podstawieniu $y=3x-1$ dostajemy $5x-1=9$, czyli $x=2$, $y=5$.

Niech $C=(t,2t+1)$. Ponieważ $A$ i $B$ są wierzchołkami przy podstawie, zachodzi $CA=CB$. Porównujemy kwadraty:

$$(t-3)^2+(2t+3)^2=(t+5)^2+(2t-3)^2.$$

Po uproszczeniu $8t=16$, zatem $C=(2,5)$. Dalej

$$AB=10,\qquad AC=BC=\sqrt{50}=5\sqrt2.$$

Dla punktu $(x,y)$ wprowadzamy całkowite przesunięcia $u=x-2$, $v=y-3$. Warunek odległości ma postać

$$u^2+v^2=100.$$

Całkowite pary to $(\pm10,0)$, $(0,\pm10)$, $(\pm8,\pm6)$ oraz $(\pm6,\pm8)$. Po dodaniu środka $(2,3)$ otrzymujemy 12 punktów.

Punkt $P$ ma współrzędne $(k,3k+6)$. Warunek $PA<PB$ można bezpiecznie podnieść do kwadratu:

$$(k+1)^2+(3k+9)^2<(k-4)^2+(3k+10)^2.$$

Po rozwinięciu otrzymujemy

$$10k^2+56k+82<10k^2+52k+116,$$

czyli $4k<34$.