MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 75

Pozostałe wierzchołki kwadratu to $(14,0)$, $(0,0)$ i $(0,14)$. Odległości punktu $P(6,8)$ od czterech wierzchołków wynoszą:

$$10,\qquad 8\sqrt2,\qquad 10,\qquad 6\sqrt2.$$

Ich suma jest równa

$$10+8\sqrt2+10+6\sqrt2=20+14\sqrt2.$$

Odległość miejska punktów $(x_1,y_1)$ i $(x_2,y_2)$ ma postać

$$d_m=|x_2-x_1|+|y_2-y_1|.$$

a) $d_m(A,B)=|4-(-7)|+|-3-2|=11+5=16$.

b) Na przykład dla $(0,0)$ i $(5,8)$ otrzymujemy $5+8=13$.

c) Szukamy par całkowitych spełniających $|x|+|y|=5$. Dają je pary wartości bezwzględnych $(5,0),(4,1),(3,2),(2,3),(1,4),(0,5)$ ze wszystkimi dopuszczalnymi znakami.

Porównujemy kwadraty długości, co pozwala uniknąć zbędnych pierwiastków.

a) $AB^2=13$ i $BC^2=13$, więc trójkąt jest równoramienny.

b) $AB^2=10$, $BC^2=40$, $AC^2=50$. Ponieważ $10+40=50$, trójkąt jest prostokątny w $B$.

c) $AB^2=BC^2=CD^2=DA^2=58$, zatem wszystkie boki są równe i czworokąt jest rombem.

d) $\overrightarrow{AB}=(-1,3)=-\overrightarrow{CD}$ oraz $\overrightarrow{BC}=(-3,3)=-\overrightarrow{DA}$, więc przeciwległe boki są równoległe i równe.

e) Wszystkie boki mają kwadrat długości $18$, a $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=(-3,-3)\cdot(3,-3)=0$. Czworokąt ma więc cztery równe boki i kąt prosty, czyli jest kwadratem.

Wystarczy podać po jednym przykładzie i sprawdzić długość.

a) Dla $A(-12,0)$ i $B(0,-16)$ oba końce leżą na wymaganych półosiach, a

$$|AB|=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{400}=20.$$

b) Punkty $A(-30,40)$ i $B(30,-40)$ leżą odpowiednio w II i IV ćwiartce, a

$$|AB|=\sqrt{60^2+(-80)^2}=\sqrt{10000}=100.$$

Wektory wychodzące z punktu $A$ są równe

$$\overrightarrow{AB}=(1,-1),\qquad \overrightarrow{AC}=(-6,-2).$$

Ich iloczyn skalarny wynosi

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} =1\cdot(-6)+(-1)\cdot(-2)=-4\ne0.$$

Wektory nie są prostopadłe, więc odcinki również nie są prostopadłe.