MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 74

Korzystamy ze wzoru $|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$ i porównujemy kwadraty długości z liczbą $10^2=100$:

$$\begin{array}{c|c|c} &|AB|^2&\text{porównanie z }100\\ \hline \text{a)}&4^2+8^2=80&80<100\\ \text{b)}&9^2+4^2=97&97<100\\ \text{c)}&(-7)^2+(-7)^2=98&98<100\\ \text{d)}&(-7)^2+11^2=170&170>100 \end{array}$$

Tylko w podpunkcie d) długość przekracza $10$.

Wystarczy porównać kwadraty wszystkich sześciu odległości:

$$AB^2=17,\quad AC^2=13,\quad AD^2=29,$$ $$BC^2=20,\quad BD^2=72,\quad CD^2=20.$$

Jedyna para równych boków występuje w trójkącie $BCD$: $|BC|=|CD|=2\sqrt5$. Pozostałe trójki punktów mają trzy różne długości boków.

Promienie poprowadzone z proponowanego środka do wierzchołków mają długości:

$$|PA|=\sqrt{(-4)^2+(-3)^2}=5,$$ $$|PB|=\sqrt{5^2+0^2}=5,\qquad |PC|=\sqrt{(-3)^2+4^2}=5.$$

Punkt $P$ jest więc równo oddalony od wszystkich trzech wierzchołków, czyli jest środkiem ich okręgu opisanego.

Mamy

$$\overrightarrow{AB}=(9,40),\qquad \overrightarrow{AX}=(5,20).$$

Wektory nie są proporcjonalne, bo $\frac59\ne\frac{20}{40}$, zatem punkty $A,X,B$ nie są współliniowe. Równoważnie wyznacznik $5\cdot40-20\cdot9=20$ jest różny od zera. Punkt $X$ nie może więc leżeć na odcinku $AB$.

a) Długość boku trójkąta wynosi

$$s=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}.$$

Zatem

$$P=\frac{s^2\sqrt3}{4}=\frac{40\sqrt3}{4}=10\sqrt3.$$

b) Najdłuższa przekątna sześciokąta foremnego ma długość $2s$. Ponieważ

$$|AD|=\sqrt{3^2+(-6)^2}=3\sqrt5,$$

to $s=\frac{3\sqrt5}{2}$. Pole sześciokąta jest sumą pól sześciu trójkątów równobocznych:

$$P=\frac{3\sqrt3}{2}s^2 =\frac{3\sqrt3}{2}\cdot\frac{45}{4} =\frac{135\sqrt3}{8}.$$

Potrzebne odległości to

$$AB=4\sqrt2,\quad AC=5\sqrt2,\quad AD=5,$$ $$BC=3\sqrt2,\quad BD=7,\quad CD=\sqrt{17}.$$

Długości sześciu możliwych łamanych zaczynających się w $A$ są równe:

$$\begin{array}{c|c} A-B-C-D&7\sqrt2+\sqrt{17}\\ A-B-D-C&4\sqrt2+7+\sqrt{17}\\ A-C-B-D&8\sqrt2+7\\ A-C-D-B&5\sqrt2+\sqrt{17}+7\\ A-D-B-C&12+3\sqrt2\\ A-D-C-B&5+\sqrt{17}+3\sqrt2 \end{array}$$

Najmniejsza jest ostatnia z nich.

a) Bezpośrednio ze wzoru na odległość:

$$PA=5,\qquad PB=5,\qquad PC=5,\qquad PD=5.$$

b) Obliczamy długości boków i przekątnych czworokąta:

$$AB=\sqrt{10},\quad BC=2\sqrt5,\quad CD=3\sqrt{10},$$ $$AD=4\sqrt5,\quad AC=5\sqrt2,\quad BD=7\sqrt2.$$

Stąd

$$|AB|\,|CD|+|AD|\,|BC| =30+40=70,$$

a także

$$|AC|\,|BD|=(5\sqrt2)(7\sqrt2)=70.$$

Obie strony są równe.

Obliczamy odległości między każdą parą punktów.

a) $AB=5\sqrt{10}$, $AC=3\sqrt{10}$, $CB=2\sqrt{10}$, zatem $C$ dzieli $AB$ w stosunku $3:2$.

b) $AB=\sqrt{13}$, $AC=5\sqrt{13}$, $CB=6\sqrt{13}$. Punkt $A$ leży między $C$ i $B$ i dzieli $CB$ w stosunku $CA:AB=5:1$.

c) $AB=3\sqrt{29}$, $AC=2\sqrt{29}$, $CB=\sqrt{29}$, więc $C$ dzieli $AB$ w stosunku $2:1$.

d) $AB=7\sqrt5$, $AC=3\sqrt5$, $CB=10\sqrt5$. Punkt $A$ leży między $C$ i $B$ i dzieli $CB$ w stosunku $CA:AB=3:7$.