MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 70

Korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta:

$$\cos^2165^\circ-\sin^2165^\circ =\cos330^\circ =\cos30^\circ =\frac{\sqrt3}{2}.$$

Wykres ma wartość $1$ tam, gdzie $\cos x\ge0$, i łagodne minima równe $\frac13$ dla nieparzystych wielokrotności $\pi$. Dla wzoru C:

$$\frac{|\cos x|-2}{\cos x-2}=1\quad\text{dla }\cos x\ge0,$$

a dla $\cos x<0$ wartość wynosi $\frac{\cos x+2}{2-\cos x}$, której minimum przy $\cos x=-1$ jest równe $\frac13$. To dokładnie odpowiada rysunkowi.

Dla każdych $x$ zachodzi nierówność Cauchy'ego

$$|2\sin x+3\cos x|\le\sqrt{2^2+3^2}\sqrt{\sin^2x+\cos^2x}=\sqrt{13}<6.$$

Lewa strona równania nie może więc osiągnąć wartości $6$.

Rozkładamy obie strony, korzystając z $\cos2x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)$:

$$(\cos x-\sin x)\left(\cos x+\sin x-\frac{\sqrt2}{2}\right)=0.$$

Pierwszy czynnik daje $\operatorname{tg}x=1$, czyli w zadanym przedziale $x=\frac\pi4$. Drugi zapisujemy jako

$$\sqrt2\cos\left(x-\frac\pi4\right)=\frac{\sqrt2}{2},$$

co w $\langle0;\pi\rangle$ daje $x=\frac{7\pi}{12}$.

Podstawiamy $\cos2x=1-2\sin^2x$ i $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$13-16\sin^2x=24\sin x-3.$$

Po uporządkowaniu

$$2\sin^2x+3\sin x-2=0 \iff(2\sin x-1)(\sin x+2)=0.$$

Wartość $-2$ odrzucamy, zatem $\sin x=\frac12$.

Oznaczamy $s=\sin3x$ i $c=\cos3x$. Ponieważ $\sin6x=2sc$, równanie przyjmuje postać

$$2sc+c-2s-1=0 \iff(c-1)(2s+1)=0.$$

Stąd $\cos3x=1$ albo $\sin3x=-\frac12$. Wybieramy wszystkie rozwiązania z $\langle0;\pi\rangle$.

Podstawiamy $t=\cos x\in\langle-1;1\rangle$ oraz $\cos2x=2t^2-1$:

$$2t^2-1+3t=-2 \iff2t^2+3t+1=0 \iff(2t+1)(t+1)=0.$$

Zatem $\cos x=-\frac12$ albo $\cos x=-1$.

Dziedzina wyklucza $\cos x=0$, czyli $x=\frac\pi2$ i $x=\frac{3\pi}{2}$. Ponieważ mianownik $\cos^2x$ jest dodatni w pozostałych punktach, nierówność jest równoważna

$$2\cos x-\sqrt3<0 \iff\cos x<\frac{\sqrt3}{2}.$$

Na $\langle0;2\pi\rangle$ otrzymujemy $(\frac\pi6;\frac{11\pi}{6})$ i usuwamy dwa punkty spoza dziedziny.