MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 69

Z rysunku odczytujemy, że punkt $P$ leży w IV ćwiartce, więc $x>0$. Z $\operatorname{tg}\alpha=\frac yx=-\frac12$ mamy $y=-\frac x2$. Warunek $|OP|=2$ daje

$$x^2+y^2=x^2+\frac{x^2}{4}=4,$$

czyli $x^2=\frac{16}{5}$. Wybieramy dodatni pierwiastek.

Rozwiązania mają postać

$$x=-\frac\pi6+2k\pi\quad\text{lub}\quad x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi.$$

W przedziale $\langle-6;6\rangle$ z pierwszej rodziny leżą $-\frac\pi6$ i $\frac{11\pi}{6}$, a z drugiej $-\frac{5\pi}{6}$ i $\frac{7\pi}{6}$.

Przekształcamy cosinus:

$$g(x)=\cos\left(x-\frac\pi3\right)-\frac12 =\sin\left(x+\frac\pi6\right)-\frac12.$$

W porównaniu z $f(x)=\sin(x+\frac\pi6)+\frac12$ wykres został przesunięty wyłącznie o $1$ w dół.

Z wykresu odczytujemy maksimum dla $x=\frac\pi6$ oraz najbliższe zera dla $x=-\frac\pi6$ i $x=\frac\pi2$. Odległość kolejnych zer wynosi $\frac{2\pi}{3}$, zatem $\frac\pi A=\frac{2\pi}{3}$ i $A=\frac32$.

Warunek maksimum daje

$$A\cdot\frac\pi6+B=\frac\pi2,$$

więc $B=\frac\pi4$ i $AB=\frac{3\pi}{8}$.

W odpowiedzi C, w dziedzinie tangensa,

$$\operatorname{tg}x\cos^3x+\sin^3x =\sin x\cos^2x+\sin^3x =\sin x(\cos^2x+\sin^2x)=\sin x.$$

Pozostałe prawe strony nie są równe temu wyrażeniu dla każdego $x$.

Korzystamy ze wzorów redukcyjnych. W odpowiedzi C:

$$\cos\left(\frac\pi2-\alpha\right)=\sin\alpha,$$ $$\cos\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\sin\alpha,$$

więc ich suma jest równa $0$ dla każdego $\alpha$. Pozostałe różnice lub sumy są równe $\pm2\sin\alpha$ albo $\pm2\cos\alpha$.

Rozwiązujemy

$$6x-\frac\pi4=\frac\pi4+2k\pi \quad\text{lub}\quad 6x-\frac\pi4=\frac{3\pi}{4}+2k\pi.$$

Stąd $x=\frac\pi{12}+\frac{k\pi}{3}$ lub $x=\frac\pi6+\frac{k\pi}{3}$. W przedziale $\left\langle\frac\pi4;\frac{3\pi}{2}\right\rangle$ każda rodzina daje po cztery wartości.

Podstawiamy $t=\sin x\in\langle-1;1\rangle$ i rozkładamy wielomiany:

$$\text{A: }(t-3)(t+1),\quad \text{B: }(t+3)(t-1),\quad \text{C: }(t-6)(t+1),$$ $$\text{D: }(t-3)(t+2).$$

Pierwsze trzy mają odpowiednio dopuszczalny pierwiastek $-1$, $1$, $-1$. Oba pierwiastki odpowiedzi D leżą poza zbiorem wartości sinusa.

Dla małych dodatnich argumentów tangens jest rosnący. Warunek progowy to

$$\operatorname{tg}\frac x3\ge\operatorname{tg}\frac\pi6,$$

czyli na pierwszej gałęzi $x\ge\frac\pi2\approx1{,}57$. Liczba $1$ nie spełnia nierówności, natomiast $2$ już ją spełnia.