MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 68

Dla tangensa równanie $\operatorname{tg}t=a$ ma rozwiązania różniące się o $\pi$; tak samo jest dla cotangensa. Sprowadzamy wartości $1$, $-1$, $\sqrt3$, $-\frac{\sqrt3}{3}$ i $-\sqrt3$ do kątów szczególnych, a potem rozwiązujemy równania liniowe dla argumentów.

Przykładowo

$$\operatorname{ctg}(3x-\pi)=-\sqrt3 \iff3x-\pi=-\frac\pi6+k\pi.$$

Usuwamy kwadraty i wartości bezwzględne, rozpatrując oba znaki:

a) $\sin2x=\pm1$; b) $\cos4x=\pm\frac{\sqrt2}{2}$; c) $\cos(x+\frac\pi3)=\pm\frac{\sqrt3}{2}$; d) $\operatorname{tg}(\frac x2+\pi)=\pm\sqrt3$; e) $\sin\pi x=\pm\frac{\sqrt2}{2}$; f) $\operatorname{tg}(\frac\pi6-x)=\pm\frac{\sqrt3}{3}$.

Następnie rozwiązujemy standardowe równania trygonometryczne.

a) Lewa strona to $-\cos2x$. Dla $u=\cos2x$ otrzymujemy $2u^2+u-1=0$, więc $u=\frac12$ lub $u=-1$.

b) Dla $u=\cos x$ równanie ma postać $4u^3-3u=4u^2$, zatem $u=0$ lub $u=-\frac12$; pierwiastek $u=\frac32$ odrzucamy.

c) W dziedzinie lewa strona upraszcza się do $\frac1{\sin2x}$. Stąd $1=\sin4x$.

d) Po zapisaniu cotangensa przez sinus i cosinus:

$$(1-\sin x)\left(\frac{\cos x}{\sin x}-1\right)=0.$$

a) Używamy $\cos4x=1-2\sin^22x$. Równanie daje $\sin2x(2\sin2x-1)=0$.

b) Ze wzoru na różnicę sinusów:

$$\sin x-\sin2x=-2\sin\frac x2\cos\frac{3x}{2}.$$

Po przeniesieniu $1-\cos x=2\sin^2\frac x2$ dostajemy

$$\sin\frac x2\left(\cos\frac{3x}{2}+\sin\frac x2\right)=0,$$

a sumę w nawiasie rozkładamy na iloczyn cosinusów.

c) $\cos^2(\frac\pi4-\frac x2)=\frac{1+\sin x}{2}$, więc $1+\sin x=0$.

W każdym podpunkcie podstawiamy jedną funkcję trygonometryczną jako $t\in\langle-1;1\rangle$ i używamy $\sin^2u+\cos^2u=1$. Otrzymujemy kolejno:

a) $2t^2+7t+3=0$ dla $t=\cos x$;

b) $2t^2+3t+1=0$ dla $t=\sin(x-\frac\pi4)$;

c) $(\sin x-1)(\sin x-2)=0$;

d) $2\cos^2x+5\cos x+2=0$;

e) $(\sin\pi x-4)(\sin\pi x+1)=0$;

f) $2\cos^2\frac x2+9\cos\frac x2-5=0$;

g) $\sin^2x=\frac12$; h) $\operatorname{tg}x(\sqrt3\operatorname{tg}x-3)=0$.

Odrzucamy pierwiastki spoza $\langle-1;1\rangle$.

W każdym podpunkcie wykorzystujemy standardowy znak funkcji na okręgu jednostkowym i odpowiedni okres.

a) $\cos3x\ge1$ oznacza $\cos3x=1$.

b) Usuwamy wyłącznie punkty, w których sinus osiąga $1$.

c–d) Porównujemy sinus lub cosinus z wartością kąta szczególnego.

e) Cotangens jest ujemny w II i IV ćwiartce.

f–h) Wartość bezwzględna prowadzi do dwóch symetrycznych nierówności.

a) $1+\cos2x=2\cos^2x\ge0$, więc brak ograniczeń.

b) Oba wyrażenia $1-\sin x$ i $1+\sin x$ są nieujemne dla każdego $x$.

c) Licznik $1-\cos x\ge0$, a mianownik $1+\cos x>0$ poza punktami $\cos x=-1$.

d) Dla $\cos x\ne0$:

$$\operatorname{tg}^2x-\sin^2x =\sin^2x\left(\frac1{\cos^2x}-1\right)\ge0.$$

a)

$$\sin2x\cos2x<\frac14 \iff\sin4x<\frac12.$$

W jednym okresie sinusa rozwiązaniem jest przedział $(\frac{5\pi}{6};\frac{13\pi}{6})$; dzielimy jego końce przez $4$.

b)

$$\cos^22x-\sin^22x=\cos4x\le-1.$$

Cosinus nie jest mniejszy od $-1$, więc musi być równy $-1$.

a) Tangens wymaga $x\ne\frac\pi2,\frac{3\pi}{2}$. Dla $\sin x<0$ lewa strona jest ujemna, więc nierówność zachodzi w całej dziedzinie. Dla $\sin x\ge0$, po oznaczeniu $u=|\cos x|>0$:

$$\frac{1-u^2}{u}\le\frac32\iff(2u-1)(u+2)\ge0,$$

czyli $|\cos x|\ge\frac12$.

b) Warunek pod pierwiastkiem daje $\sin x\le0$ albo $\sin x=1$. Gdy $\cos x\le0$, nierówność jest automatyczna. W IV ćwiartce podnosimy strony do kwadratu i otrzymujemy $\sin x\le-\frac12$. Punkt $x=\frac\pi2$ sprawdzamy osobno.