MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 67

a) Dla $t=\operatorname{tg}x$ korzystamy z $\operatorname{tg}2x=\frac{2t}{1-t^2}$:

Założenia: $\cos x\ne0$ i $\cos2x\ne0$.

b) $\sin(2x+\frac\pi2)=\cos2x=\frac{1-\operatorname{tg}^2x}{1+\operatorname{tg}^2x}$ przy $\cos x\ne0$.

c)

d) Analogiczne rozwinięcie $\sqrt2\sin(x-\frac\pi4)$ daje $\sin x-\cos x$. W c) i d) nie ma dodatkowych założeń.

Rozkładamy kąty na sumy lub różnice kątów $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$ i redukujemy je do I ćwiartki. Przykładowo

Tak samo postępujemy w pozostałych podpunktach, uwzględniając znak funkcji w odpowiedniej ćwiartce.

a) $\sin1000^\circ=-\cos10^\circ$ i $\operatorname{tg}135^\circ=-1$, więc składniki się redukują.

b) Ze wzoru na sumę cosinusów:

c)

d) $\cos75^\circ\cos15^\circ=\frac14$, a $\sin\frac\pi8\sin\frac{3\pi}{8}=\frac{\sqrt2}{4}$.

Redukujemy każdy kąt modulo $360^\circ$ lub $180^\circ$ i podstawiamy wartości kątów szczególnych. Przykładowo w c):

więc wartość wynosi $-\frac{\sqrt3}{2}-3=-\frac{6+\sqrt3}{2}$. Analogicznie wykonujemy pozostałe rachunki.

Zauważamy, że

Prawa strona równania jest więc równa $0$, zatem $\operatorname{tg}x=0$ i $x=k\pi$. Warunek $-\sqrt{10}\pi\le k\pi\le\sqrt{10}\pi$ daje całkowite $k=-3,-2,\ldots,3$.

a) Z równania $\cos t=\frac{\sqrt2}{2}$ mamy $t=2k\pi\pm\frac\pi4$ i podstawiamy $t=2x-\frac\pi8$.

b) Równanie upraszcza się do $\sin(x+\frac\pi4)=\frac12$.

c) Po podzieleniu przez $-3$ otrzymujemy $\operatorname{tg}(\frac\pi6-2x)=-\frac{\sqrt3}{3}$.

W każdym przypadku rozwiązujemy równanie liniowe dla argumentu funkcji.

W każdym podpunkcie sprowadzamy równanie do postaci $\sin t=c$ albo $\cos t=c$, zapisujemy obie rodziny argumentów $t$, a następnie rozwiązujemy równanie liniowe wiążące $t$ z $x$. Przykładowo w g):