MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 66

Korzystamy z $-1\le\sin t,\cos t\le1$, $0\le|\sin t|,|\cos t|\le1$, $\operatorname{tg}^2x\ge0$ oraz $\sqrt{\sin^2x}=|\sin x|$. Następnie stosujemy podane mnożniki i przesunięcia pionowe. Ograniczenie argumentu przez wartość bezwzględną nie zmienia zbioru wartości sinusa ani cosinusa.

a)

Funkcja przyjmuje oba znaki, więc jej zbiorem wartości jest $\langle-1;1\rangle$.

b) W dziedzinie tangensa

zatem $0\le f(x)\le\frac12$, a obie wartości krańcowe są osiągane.

a) $1+\sin2\alpha=(\sin\alpha+\cos\alpha)^2$; dzielimy przez niezerowy mianownik.

b) $\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha}=\operatorname{tg}\alpha$.

c) Licznik to $\sin\alpha(1+2\cos\alpha)$, a mianownik $\cos\alpha(1+2\cos\alpha)$.

d) Stosujemy $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ dla $A=\sin\alpha+\cos\alpha$, $B=\sin\alpha-\cos\alpha$.

e) Różnica kwadratów daje $\sin\alpha\operatorname{ctg}\alpha=\cos\alpha$.

f) Analogicznie otrzymujemy $\operatorname{tg}\alpha\operatorname{ctg}\alpha=1$.

Założenia: a) $\sin\alpha+\cos\alpha\ne0$; b) $\cos\alpha\ne0$; c) $\cos\alpha\ne0$ i $1+2\cos\alpha\ne0$; e) $\sin\alpha\ne0$; f) $\sin\alpha\cos\alpha\ne0$; w d) brak ograniczeń.

Niech $t=\operatorname{tg}x\ne0$. Wówczas

Zatem

a) Dla $a=\sin^2x$, $b=\cos^2x$ korzystamy z $a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$.

b)

a także $\operatorname{ctg}\frac x2-\operatorname{tg}\frac x2=2\operatorname{ctg}x$.

c) Dwukrotnie stosujemy $\cos2u=2\cos^2u-1$.

d) Po użyciu $1+\cos x=2\cos^2\frac x2$, $1+\cos2x=2\cos^2x$ i $\sin2x=2\sin x\cos x$ lewa strona jest równa $\frac{1+\cos x}{\sin x}=\operatorname{ctg}\frac x2$.

Założenia: w a) i c) brak; w b) i d) $x\ne\frac{k\pi}{2}$, $k\in\mathbb Z$.

Kąt $18^\circ$ leży w I ćwiartce, więc we wzorach połowy kąta wybieramy dodatnie pierwiastki:

Po podstawieniu $\cos36^\circ=\frac{\sqrt5+1}{4}$ upraszczamy oba wyniki, a tangens i cotangens obliczamy jako ich iloraz i odwrotność.

Stosujemy wzory na sumę i różnicę funkcji:

oraz analogiczne wzory w c) i d). Średnie kąty wynoszą kolejno $90^\circ$, $90^\circ$, $135^\circ$ i $135^\circ$.

a) Dla dowolnego $t$ zachodzi

Po podstawieniu $t=10^\circ$ prawa strona wynosi $\sin30^\circ=\frac12$, więc iloczyn trzech sinusów jest równy $\frac18$.

b) Z wzoru na tangens sumy wynika tożsamość

Dla $t=20^\circ$ otrzymujemy dokładnie podaną równość.