MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 65

a) Funkcja ma postać $\sin(x-\frac\pi4)-2$, więc jej wartości należą do $\langle-3;-1\rangle$ i zer nie ma.

b) $\cos(x-\frac\pi3)=-1$.

c) $\operatorname{tg}(x+\frac\pi4)=1$.

d) $\operatorname{ctg}(x-\frac{5\pi}{6})=1$.

Rozwiązujemy trzy ostatnie równania, uwzględniając okresy odpowiednich funkcji.

Po przesunięciu o $\vec w$ otrzymujemy funkcję

Osie symetrii jej wykresu są pionowymi prostymi

Odcięte punktów $A$, $B$ i $C$ mają tę postać, a odcięte $D$ i $E$ — nie.

Przesunięcie o $[p,q]$ daje

Z drugiej strony

Stąd $q=6$ oraz $p=\frac\pi4+2k\pi$. W przedziale $\langle20\pi;25\pi\rangle$ odpowiada to trzem wartościom $k$.

Przesunięcie poziome nie zmienia zbioru wartości. Dla funkcji $a\sin(x+b)+c$ i $a\cos(x+b)+c$ zbiorem wartości jest $\langle c-|a|;c+|a|\rangle$. Stosujemy tę własność kolejno do czterech wzorów.

Mnożnik pionowy nie wpływa na dziedzinę. Tangens jest nieokreślony, gdy jego argument ma postać $\frac\pi2+k\pi$, a cotangens — gdy jego argument jest równy $k\pi$.

Po uwzględnieniu przesunięć argumentu wyznaczamy osobno cztery rodziny wykluczonych punktów.

Wierzchołki mają współrzędne

Stąd $|AC|=2\pi$, a

Trójkąt jest równoboczny, gdy $\pi^2+4a^2=4\pi^2$.

Częstotliwość oscylacji pozwala rozpoznać wzory: niebieski wykres wykonuje trzy razy więcej cykli niż czerwony, a zielony — trzy razy mniej. Dla $\sin(ax)$ okres wynosi $\frac{2\pi}{|a|}$, a miejsca zerowe spełniają $ax=k\pi$.

Dla $\sin(ax)$ i $\cos(ax)$ okres podstawowy wynosi $\frac{2\pi}{|a|}$, a dla $\operatorname{tg}(ax)$ — $\frac\pi{|a|}$. Mnożnik wartości i przesunięcie pionowe nie zmieniają okresu.

Warunek $|f(x)|=2$ jest równoważny $|\cos(\cdot)|=1$.

Na pierwszej części dziedziny rozwiązujemy $x+\frac\pi4=k\pi$ i pozostawiamy wartości z $\langle-2\pi;0\rangle$. Na drugiej rozwiązujemy $x-\frac\pi4=k\pi$ i wybieramy wartości z $(0;2\pi\rangle$.