MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 64

Sprowadzamy argumenty do przedziału $\langle-4;5)$, odejmując lub dodając wielokrotności okresu $9$:

Z odczytanego wykresu mamy $g(1)=4$, $g(-4)=2$, $g(-1)=4$, $g(4\frac12)=0$, a ponadto $g(2)=2$, $g(3)=0$ i $g(4)=-2$. Te same wartości przyjmuje okresowa funkcja $f$.

W jednym okresie miejsca zerowe to $-4,-2,0,6$, a kolejne otrzymujemy przez dodanie $12k$.

a) W przedziale $\langle100;110\rangle$ znajdują się liczby $6+8\cdot12$, $-4+9\cdot12$, $-2+9\cdot12$ i $0+9\cdot12$.

b) Po odjęciu $84$ przedział przechodzi w $\langle-4;1\rangle$, gdzie największa wartość wynosi $1$.

c) Po dodaniu $96$ otrzymujemy $\langle-3;6\rangle$, gdzie najmniejsza wartość wynosi $-1$.

Korzystamy z wartości sinusa na okręgu jednostkowym. Wartość $-\frac{\sqrt2}{2}$ występuje w III i IV ćwiartce, wartość $\sqrt2$ leży poza zbiorem wartości sinusa, a $-0{,}5=-\frac12$ odpowiada kątom o kącie odniesienia $\frac\pi6$.

Na okręgu jednostkowym dobieramy w każdym podpunkcie dwa kąty z przedziału $\langle0;2\pi\rangle$, których pierwsza współrzędna ma zadaną wartość.

Rozpatrywany przedział zawiera liczby

W tych dwóch pierwszych punktach $\sin2\pi=0<1=\sin\frac{5\pi}{2}$, więc funkcja nie jest nierosnąca. Dalej

więc nie jest też niemalejąca na całym przedziale. Występuje wzrost, a następnie spadek.

Cotangens ma okres $\pi$, jest malejący na każdym przedziale między asymptotami $x=k\pi$ i ma miejsca zerowe $x=\frac\pi2+k\pi$. Rozwiązujemy kolejno równania $\operatorname{ctg}x=\frac{\sqrt3}{3}$, $\operatorname{ctg}x=-1$, $\operatorname{ctg}x=-\sqrt3$ i $\operatorname{ctg}x=0$, po czym wybieramy argumenty z $(-\pi;0)\cup(0;\pi)$.

Wspólny punkt spełnia $\operatorname{tg}x=\operatorname{ctg}x$, zatem

Warunek $10\le\frac\pi4+\frac{k\pi}{2}\le20$ daje $k=6,7,\ldots,12$, czyli siedem argumentów. Dla każdego z nich istnieje dokładnie jeden wspólny punkt wykresów.

Tangens jest rosnący na każdym przedziale swojej ciągłości, a cotangens — malejący.

a) i b) Oba argumenty leżą w jednej gałęzi tangensa i rosną, więc warunek spełnia tangens, nie cotangens.

c) Tangens dla $-1{,}5\pi$ nie istnieje. Cotangens ma tam wartość $0$, więc podany iloraz nie jest większy od $1$.

d) Wartości tangensa dla $2{,}8\pi$ i $3{,}2\pi$ mają przeciwne znaki; to samo dotyczy ich odwrotności, czyli cotangensa.