MATeMAtyka 3. Zbiór zadań, strona 63 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dla punktu $P(x,y)$ na ramieniu końcowym kąta stosujemy

\sin\alpha=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}},\quad \cos\alpha=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\quad \operatorname{tg}\alpha=\frac yx,\quad \operatorname{ctg}\alpha=\frac xy.

Podstawiamy kolejno współrzędne punktów $A$ , $B$ i $C$ i upraszczamy pierwiastki.

Odpowiedź

a) $-\frac{20}{29}$ , $-\frac45$ , $\frac8{17}$ ;

b) $\frac9{41}$ , $-\frac{\sqrt{11}}4$ , $-\frac{\sqrt3}{3}$ ;

c) $-\frac94$ , $-10$ , $\frac12$ ;

d) $\frac13$ , $\frac{\sqrt2}{2}$ , $-\frac1{25}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

I. Sinus $\frac45$ może mieć kąt w I ćwiartce, którego ramię przechodzi przez $(3,4)$ . Ten punkt nie leży na prostej $4x+3y=0$ , więc zdanie ogólne jest fałszywe.

II. Dla $A(-5,-3)$ mamy $\operatorname{tg}\alpha=\frac{-3}{-5}=\frac35$ , a nie $-\frac35$ .

III. Dla $A(-1,2)$ promień ma długość $\sqrt5$ , więc $\cos\alpha=-\frac1{\sqrt5}$ , a nie $-\frac1{\sqrt3}$ .

IV. W III ćwiartce obie współrzędne są ujemne, zatem ich iloraz $\operatorname{ctg}\alpha=\frac xy$ jest dodatni.

Odpowiedź

Każde ze zdań I–IV jest fałszywe.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 3

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Redukujemy kąty o całkowite wielokrotności $360^\circ$ (dla tangensa i cotangensa można użyć okresu $180^\circ$ ):

-855^\circ\equiv225^\circ,\quad2490^\circ\equiv330^\circ,\quad570^\circ\equiv210^\circ,

-450^\circ\equiv-90^\circ,\quad-1110^\circ\equiv-30^\circ,\quad390^\circ\equiv30^\circ.

Odpowiedź

a) $-\frac{\sqrt2}{2}$ ; b) $\frac{\sqrt3}{2}$ ; c) $\frac{\sqrt3}{3}$ ; d) $0$ ; e) $\frac{\sqrt3}{2}$ ; f) $\sqrt3$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Redukcja kątów daje

\sin(-2430^\circ)=1,\quad \sin1530^\circ=1,\quad \cos(-1710^\circ)=0,

\operatorname{tg}1035^\circ=-1,\quad \sin1260^\circ=0,\quad \operatorname{ctg}(-315^\circ)=1,\quad \cos1350^\circ=0.

Pierwszy nawias jest więc równy $a+b$ , a drugi $a$ .

Odpowiedź

$a^2+ab$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

8 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Korzystamy z przelicznika $\pi\ \mathrm{rad}=180^\circ$ , czyli każdy współczynnik przy $\pi$ mnożymy przez $180^\circ$ .

Odpowiedź

a) $30^\circ$ ; b) $36^\circ$ ; c) $315^\circ$ ; d) $300^\circ$ ; e) $157{,}5^\circ$ ; f) $675^\circ$ ; g) $480^\circ$ ; h) $330^\circ$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Miary w radianach przeliczamy ze wzoru $r\ \mathrm{rad}=r\cdot\frac{180^\circ}{\pi}$ . Otrzymujemy kolejno $135^\circ$ , $435^\circ$ , $1000^\circ$ , $1332^\circ$ , około $171{,}9^\circ$ oraz dla $10$ rad około $573{,}0^\circ$ .

Odpowiedź

a) $\frac34\pi\ \mathrm{rad}>125^\circ$ ; b) $\frac{29}{12}\pi\ \mathrm{rad}<436^\circ$ ; c) $1000^\circ=5\frac59\pi\ \mathrm{rad}$ ; d) $1333^\circ>7{,}4\pi\ \mathrm{rad}$ ; e) $3\ \mathrm{rad}>170^\circ$ ; f) $600^\circ>10\ \mathrm{rad}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem