Cała strona · Zbiór zadań · szkoła średnia

MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 60

temat „\*1.16. Nierówności trygonometryczne” · 3 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 3

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Z układu przedziałów na wykresie wybieramy kolejną część wokół $2\pi$ , więc $a=\frac{11\pi}{6}$ i $b=\frac{13\pi}{6}$ .

a) $|\sin x|<\frac{\sqrt3}{2}$ między kolejnymi punktami, w których wartość bezwzględna sinusa jest równa $\frac{\sqrt3}{2}$ .

b) $|2\sin(-x)+1|>0$ oznacza jedynie $1-2\sin x\ne0$ , czyli $\sin x\ne\frac12$ .

Odpowiedź

$a=\frac{11\pi}{6}$ , $b=\frac{13\pi}{6}$ ; a) $x\in(-\frac\pi3+k\pi;\frac\pi3+k\pi)$ ; b) $x\in\mathbb R\setminus\{\frac\pi6+2k\pi,\frac{5\pi}{6}+2k\pi:k\in\mathbb Z\}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Na prawej gałęzi tangensa wartość $-1$ występuje dla $b=\frac{3\pi}{4}$ .

a) $|\operatorname{tg}x|<1$ jest równoważne $-1<\operatorname{tg}x<1$ .

|2\operatorname{tg}x-\sqrt3|>\sqrt3

oznacza $\operatorname{tg}x<0$ lub $\operatorname{tg}x>\sqrt3$ . Odczytujemy odpowiednie części każdej gałęzi wykresu.

Odpowiedź

$b=\frac{3\pi}{4}$ ; a) $x\in(-\frac\pi4+k\pi;\frac\pi4+k\pi)$ ; b) $x\in(-\frac\pi2+k\pi;k\pi)\cup(\frac\pi3+k\pi;\frac\pi2+k\pi)$ , gdzie $k\in\mathbb Z$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Niech $u=\frac x3$ . Na każdej gałęzi tangens rośnie, więc alternatywa jest spełniona dla

u\in\left(-\frac\pi2+k\pi;\frac\pi6+k\pi\right) \cup\left(\frac\pi3+k\pi;\frac\pi2+k\pi\right).

Mnożymy wszystkie końce przedziałów przez $3$ .

Odpowiedź

$x\in(-\frac{3\pi}{2}+3k\pi;\frac\pi2+3k\pi)\cup(\pi+3k\pi;\frac{3\pi}{2}+3k\pi)$ , gdzie $k\in\mathbb Z$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem