MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 59

a) Dla $s=\sin\alpha>0$ równanie ma postać $sx^2+2(s-1)x+s=0$. Warunek dwóch różnych pierwiastków to

$$\Delta=4(s-1)^2-4s^2=4(1-2s)>0,$$

czyli $\sin\alpha<\frac12$.

b) Współczynnik kwadratowy $2\cos\alpha-1$ musi być niezerowy, a

$$\Delta=4-4(2\cos\alpha-1)=8(1-\cos\alpha)>0$$

dla każdego $\alpha\in(0;\pi)$. Wykluczamy więc tylko $\cos\alpha=\frac12$.

Po podstawieniu $t=\sin x$ pierwsze równanie ma pierwiastki

$$t=\sqrt3\quad\text{oraz}\quad t=\frac{2\sqrt3}{3}.$$

Obie liczby są większe od $1$, więc nie mogą być wartościami sinusa i równanie jest sprzeczne. Po zastąpieniu sinusa tangensem otrzymujemy te same dwie wartości, ale obie należą do zbioru wartości tangensa, zatem drugie równanie ma rozwiązania.

a) Przyjmując $45^\circ=\frac\pi4$, obie strony sprowadzamy do sinusa i cosinusa kąta $x$:

$$2\sin x(\sin x+\cos x)=\sqrt2(\sin x+\cos x).$$

Stąd $\sin x+\cos x=0$ albo $\sin x=\frac{\sqrt2}{2}$.

b) Dla $u=\cos2x$ mamy $\cos4x=2u^2-1$ i $\sin^22x=1-u^2$. Równanie upraszcza się do $(u+1)^2=1$, więc jedyną dopuszczalną wartością jest $u=0$.

a) Dla $t=\cos x$:

$$2t^3-3t^2+1=(t-1)^2(2t+1).$$

b) Dla $t=\sin x$:

$$4t^3-3t+1=(t+1)(2t-1)^2.$$

Wszystkie otrzymane wartości $t$ należą do $[-1;1]$.

Dla $s=\sin x\in[-1;1]$ równanie jest równoważne

$$t=2s^2+s-1.$$

Parabola ma na $[-1;1]$ minimum $-\frac98$ w $s=-\frac14$ i maksimum $2$ w $s=1$. Dla $t=-1$ dostajemy $2s^2+s=0$, czyli $s=0$ albo $s=-\frac12$.

Podzielność przez $x-1$ jest równoważna $w(1)=0$. Dla $s=\sin\alpha$:

$$w(1)=s+3(1-s^2)+2s^2-1=-s^2+s+2.$$

Stąd $s^2-s-2=0$, więc jedyną dopuszczalną wartością jest $s=-1$. W przedziale $[-\pi;\pi]$ zachodzi to tylko dla $\alpha=-\frac\pi2$.

W każdym podpunkcie zaczynamy od wspólnej dziedziny.

a) Po użyciu wzorów podwojenia równanie daje $\cos x(2\cos x+1)=0$.

b) Ilorazy $\frac{\sin3x}{\sin x}=4\cos^2x-1$ i $\frac{\cos3x}{\cos x}=4\cos^2x-3$ prowadzą do $\cos^2x=\frac34$.

c) Po pomnożeniu przez mianowniki otrzymujemy $4\sin^3x+2\sin^2x-1=0=(2\sin x-1)(2\sin^2x+2\sin x+1)$.

d) Lewa strona upraszcza się do $\frac{1+\cos x}{1-\cos x}$, a prawa do $2(1+\cos x)$; dziedzina pozwala skrócić wspólny czynnik i daje $\cos x=\frac12$.