MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 58

a) $2\cos^2x-1=3\cos^2x$ dawałoby $\cos^2x=-1$, więc rozwiązań brak.

b) $\sin x(2\cos x-\sqrt2)=0$.

c) Po zapisaniu tangensa jako ilorazu i uwzględnieniu $\cos2x\ne0$ dostajemy $\sin2x(1-\cos2x)=0$, zatem $x=\frac{k\pi}{2}$.

d) W dziedzinie tangensa równanie rozkłada się na $(\cos x-1)(\operatorname{tg}x+\sqrt3)=0$.

Dla $t=\sin x$ wielomian ma rozkład

$$4t^3-2t^2-2t+1=(2t-1)(2t^2-1).$$

Na $[99\pi;100\pi]$ sinus jest niedodatni, więc pozostaje $\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}$. W rozpatrywanej połowie okresu zachodzi to dwa razy.

Rozwiązujemy na $[0;2\pi]$.

a) Iloczyn jest dodatni, więc $\sin x>0$, a równanie daje $\sin x=\frac12$.

b) Znów $\sin x>0$. Po oznaczeniu $u=|\cos x|$ otrzymujemy $2(1-u^2)=3u$, skąd $u=\frac12$.

c) Znak iloczynu wymaga, by sinus i cosinus miały ten sam znak. W I i III ćwiartce rachunek sprowadza się do $2t^2+\sqrt2t-2=0$ dla $t=|\sin x|$, więc $t=\frac{\sqrt2}{2}$.

a) $\sqrt2\cos(3x+\frac\pi4)=1$.

b) Po wzorze na różnicę sinusów: $\sin x(2\cos3x-1)=0$.

c) Dodanie $\cos x$ i użycie wzoru na sumę daje $\cos4x(2\cos3x-1)=0$.

d) Wzory sum-to-product prowadzą do $2\sin x(\sin2x+\cos2x)=0$.

e) Po zastąpieniu lewej strony przez $\cos x-\sin x$ otrzymujemy $2\sin x(\sin2x-1)=0$.

f) Lewa strona upraszcza się do $\sqrt3\sin(2x+\frac{2\pi}{3})$.

W każdym podpunkcie sprowadzamy równanie do wielomianu jednej funkcji.

a) $\cos^2x+3\cos x+2=0$. b) $2\sin^2x+\sqrt3\sin x-3=0$. c) Po wyłączeniu sinusa: $\sin x=0$ albo $(\cos x-\frac12)^2=0$. d) $\operatorname{tg}^2x=2\sin^2x$, więc $\sin x=0$ albo $\cos^2x=\frac12$.