MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 57

Wprowadzamy odpowiednio $t=\sin x$, $t=\cos x$ albo $t=\operatorname{tg}x$ i rozwiązujemy równanie kwadratowe, pamiętając o zbiorze wartości funkcji.

a) $(2\sin x-1)(\sin x-1)=0$. b) Dopuszczalny pierwiastek równania kwadratowego to $\cos x=-\frac12$. c) $\sin x(\sqrt2-2\sin x)=0$. d) $2\sin^2x+\sin x-1=0$. e) Równanie upraszcza się do $\cos^2x=2-\cos x$. f) Dopuszczalne wartości tangensa to $\sqrt3$ i $-\frac{\sqrt3}{3}$.

a) Po użyciu $\sin^2x=1-\cos^2x$ dostajemy $4\cos^2x+8\cos x-5=0$; tylko $\cos x=\frac12$ jest dopuszczalne.

b) $\operatorname{tg}(\pi-x)=-\operatorname{tg}x$. Równanie kwadratowe daje tangens równy $-\sqrt3$ albo $-\frac{\sqrt3}{3}$.

c) $\sin^4x-\cos^4x=-\cos2x$, więc $\cos2x=-1$.

d) W dziedzinie wyrażenia $\operatorname{ctg}x+\frac{\sin x}{1+\cos x}=\frac1{\sin x}$, zatem $\sin x=\frac12$.

Równanie zapisujemy jako

$$\sin x+\cos x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x).$$

Stąd $\sin x+\cos x=0$ albo $\cos x-\sin x=1$. Pierwsza rodzina to $x=-\frac\pi4+k\pi$, druga daje $x=2k\pi$ lub $x=-\frac\pi2+2k\pi$. Najmniejszy dodatni element wszystkich rodzin to $\frac{3\pi}{4}$.

Rozwiązujemy na $[0;\frac\pi2]$.

a) Po pomnożeniu przez $\cos x$ otrzymujemy $2\sin^2x+3\sin x-2=0$. b) $2\sin^2x=\operatorname{tg}x$ daje $x=0$ albo $\sin2x=1$. c) Dla $u=\cos2x$ mamy $1-2u^2=u$. d) Dla $u=\sin2x$ dostajemy $2u^2+3u-2=0$.

Niech $A=15^\circ+0{,}25x$. Lewa strona pierwszego równania wynosi

$$\sin A\cos A\cos2A=\frac14\sin4A=\frac14\sin(60^\circ+x).$$

Dla $B=30^\circ-0{,}25x$ lewa strona drugiego równania to

$$\frac14\sin4B=\frac14\sin(120^\circ-x).$$

Ponieważ $\sin(120^\circ-x)=\sin(60^\circ+x)$, oba równania mają tę samą dziedzinę i identyczne lewe strony.

Korzystamy ze wzoru na sumę:

$$W=\sin\left(x+\frac\pi4\right)+\cos\left(x+\frac\pi4\right) =\sqrt2\cos x.$$

Dla parzystej całkowitej wielokrotności $\pi$, czyli $x=2k\pi$, mamy $\cos x=1$, a więc $W=\sqrt2$.

W dziedzinie $x\ne\frac{k\pi}{2}$:

a)

$$1+\operatorname{ctg}^2x(\sin^2x-\operatorname{tg}^2x) =1+\cos^2x-1=\cos^2x,$$

więc równość jest tożsamością.

b) Dla $t=\operatorname{tg}x$ prawa strona wynosi $(t-1)(\frac1t-1)=t+\frac1t-2$. Porównanie z $t-\frac1t$ daje $t=1$, więc równość nie zachodzi dla każdego $x$ z dziedziny.

Pierwsze równanie po usunięciu mianowników daje

$$2\sin^2x-\sin x-1=0,$$

czyli $\sin x=1$ lub $\sin x=-\frac12$. Drugie jest równoważne $4\cos^2x=3$, czyli $\cos x=\pm\frac{\sqrt3}{2}$. Wspólne są te argumenty z drugiej rodziny pierwszego równania, dla których cosinus ma wskazaną wartość bezwzględną.