MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 56

a) Po podzieleniu przez $\sqrt2$ mamy $\cos x=m+\sqrt6$. Równanie jest sprzeczne, gdy prawa strona leży poza $[-1;1]$.

b) $\sin2x=\frac{m^2-2}{2}$ nie ma rozwiązań dokładnie wtedy, gdy $\left|\frac{m^2-2}{2}\right|>1$.

c) Dla $t=\sin^2x\in(0;1]$ tożsamość $1+\operatorname{ctg}^2x=1/t$ prowadzi do $m=1/t-t$. Funkcja ta przyjmuje na $(0;1]$ dokładnie wartości z $[0;+\infty)$, więc sprzeczność zachodzi dla $m<0$.

Po podstawieniu $t=\sin x\in[-1;1]$ lewa strona jest kwadratem:

$$t^2-2(m^2+1)t+(m^2+1)^2=[t-(m^2+1)]^2.$$

Zatem $t=m^2+1$. Ponieważ $t\le1$, koniecznie $m=0$ i $t=1$.

Równanie jest równoważne warunkowi

$$\sin x=m\quad\text{lub}\quad \sin x=1-m.$$

Na $[-2\pi;2\pi]$ każdy poziom z $(-1;1)\setminus\{0\}$ przecina sinusoidę cztery razy. Aby obie wartości $m$ i $1-m$ należały do $(0;1)$ i były różne, trzeba mieć $0<m<1$ oraz $m\ne\frac12$. Wtedy zbiory czterech pierwiastków są rozłączne i łącznie jest ich osiem, najwięcej ze wszystkich przypadków.

Niech $t=\sin x\in[-1;1]$. Równanie ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy

$$m=-t^2-t=\frac14-\left(t+\frac12\right)^2$$

należy do zbioru wartości tej funkcji na $[-1;1]$. Maksimum to $\frac14$ dla $t=-\frac12$, a minimum $-2$ dla $t=1$.

a) $|\cos(2x-\frac\pi4)|=\frac{\sqrt2}{2}$ prowadzi do $x=\frac{k\pi}{4}$; największą wartością ujemną jest $-\frac\pi4$.

b) $|\operatorname{tg}\frac{\pi x}{2}|=1$ daje $x=\frac12+k$, więc największy ujemny pierwiastek to $-\frac12$.

c) Z $\operatorname{ctg}(3x-\frac\pi6)=\pm\sqrt3$ dostajemy rodziny $x=\frac{k\pi}{3}$ oraz $x=\frac\pi9+\frac{k\pi}{3}$. Najbliżej zera po lewej leży $-\frac{2\pi}{9}$.

Rozkładamy każde równanie po przeniesieniu wszystkich wyrazów na jedną stronę, odrzucając wartości funkcji spoza $[-1;1]$, i wybieramy argumenty z $[2\pi;3\pi]$.

a) $\sin x=0$. b) $\cos x=0$ lub $\frac{\sqrt2}{2}$. c) $\cos x=0$. d) $\operatorname{tg}x\in\{0,\pm\sqrt3\}$. e) $\operatorname{tg}2x\in\{0,\pm1\}$. f) Na rozpatrywanym przedziale $\sin\frac x2\le0$, więc z dwóch czynników zeruje się tylko sinus.

Po oznaczeniu $u=\sin(x-\frac{2\pi}{3})$ równanie ma postać $4-6u=u-3$, więc $u=1$. Stąd

$$x-\frac{2\pi}{3}=\frac\pi2+2k\pi, \qquad x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi.$$

W $[-2\pi;2\pi]$ leżą $-\frac{5\pi}{6}$ i $\frac{7\pi}{6}$.

Jeśli pierwiastkami są $\sin\alpha$ i $\cos\alpha$, ze wzorów Viète'a

$$\sin\alpha+\cos\alpha=1, \qquad m=\sin\alpha\cos\alpha.$$

Po podniesieniu pierwszej równości do kwadratu dostajemy $1=1+2m$, czyli $m=0$. Pierwiastki równania $x^2-x=0$ to $0$ i $1$. Sinus i cosinus tworzą tę parę dla $\alpha=2k\pi$ lub $\alpha=\frac\pi2+2k\pi$.