MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 55

Rozpisujemy równania z wartością bezwzględną na dwa przypadki.

a) $|\operatorname{ctg}u|=1$ daje $u=\frac\pi4+\frac{k\pi}{2}$.

b) Jedyna dopuszczalna gałąź to $\sin(3x-\frac\pi2)=-\frac12$.

c) $\operatorname{tg}(x+\frac\pi5)$ jest równy $0$ albo $1$.

d) Jedyną możliwą wartością cosinusa jest $0$.

Wykluczamy argumenty zerujące mianowniki oraz punkty, w których tangens lub cotangens nie jest określony.

a) Oba sinusy w mianownikach muszą być niezerowe.

b) Oba tangensy muszą istnieć, a ponadto $1+\operatorname{tg}(x+\frac\pi6)\ne0$.

c) Cotangens wymaga $\sin(x-\frac\pi4)\ne0$, a mianownik $1-\sin^2(x-\frac\pi4)=\cos^2(x-\frac\pi4)$ wymaga niezerowego cosinusa.

Iloczyn jest równy zeru, gdy $x=k\pi$ albo $x=\frac\pi4+k\pi$; obie rodziny leżą w dziedzinie drugiego czynnika. W przedziale $[-2\pi;2\pi]$ pierwsza rodzina daje pięć liczb o sumie $0$, a druga cztery liczby:

których suma wynosi $-\pi$.

Podana liczba wynosi $x_0=\operatorname{tg}\frac\pi3\sin\frac\pi6=\frac{\sqrt3}{2}$. Ponadto

Zatem $f(x_0)=\frac{\sqrt3}{2}\operatorname{tg}m-\frac{\sqrt3}{2}\operatorname{tg}m=0$. Obie funkcje występujące we wzorze są określone dokładnie wtedy, gdy $\cos m\ne0$.

a) Dziedzina wyklucza $x=\frac\pi2+k\pi$, więc czynnik $\cos x$ nie może dać zera. Pozostaje $\operatorname{tg}x=-1$.

b) Dziedzina: $x\ne\frac\pi4+\frac{k\pi}{2}$. Z $\sin4x=0$ pozostają $x=\frac{k\pi}{2}$, a drugi czynnik znika dla $x=\frac\pi8+\frac{k\pi}{2}$.

c) Iloraz wymaga $x\ne\frac{k\pi}{2}$. Licznik jest zerem dla $x=\frac{k\pi}{3}$; po odrzuceniu wielokrotności $\pi$ zostają dwie rodziny modulo $\pi$.

Oznaczmy $u=\sin3x$ i $v=\cos2y$. Układ liniowy

ma rozwiązanie $u=1$, $v=-1$. W zadanych przedziałach

Łączymy każdą wartość $x$ z każdą wartością $y$.

Ponieważ $\operatorname{tg}\frac\pi3=\sqrt3=(\sqrt3)^1$ i podstawa potęgi jest dodatnia oraz różna od $1$, mamy $|\operatorname{tg}x|=1$. Stąd $\operatorname{tg}x=\pm1$.

Pierwsze równanie daje

Drugie daje

Gdyby liczba należała do obu rodzin, mielibyśmy $3(n-k)=\frac54$, co jest niemożliwe dla liczb całkowitych $k,n$.