MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 54

Po uproszczeniu stałych otrzymujemy równania z tangensem lub cotangensem jednego argumentu:

a) $\operatorname{tg}(10x-\frac\pi5)=1$; b) $\operatorname{ctg}(8x+\frac\pi4)=-1$; c) $\operatorname{tg}(\frac23x-\frac\pi6)=\frac{\sqrt3}{3}$; d) $\operatorname{ctg}(\frac56x-\frac{2\pi}{3})=-\sqrt3$; e) $\operatorname{tg}(\frac x\pi-3)=1$; f) $\operatorname{ctg}(\frac{x-5}{2\pi})=-1$.

Każde z nich rozwiązujemy z okresem $\pi$ i wracamy do zmiennej $x$.

a) Wyłączamy $\sin6x$ przed nawias. Dostajemy $\sin6x=0$ lub $\cos(3x-\frac\pi6)=1$.

b) $\operatorname{tg}^2\frac{x+2\pi}{8}=3$, więc tangens jest równy $\pm\sqrt3$.

c) Wyłączamy $\operatorname{ctg}\frac{x+\pi}{3}$ i pamiętamy o dziedzinie obu cotangensów. Otrzymujemy $\operatorname{ctg}\frac{x+\pi}{3}=0$ lub $\operatorname{ctg}\frac{x-\pi}{3}=-1$.

d) Lewa strona jest kwadratem $[\cos(x-\frac\pi4)-1]^2$.

Dla kąta $\alpha$ między bokami pole wynosi

$$P=\frac12\sqrt3\cdot\sqrt{48}\sin\alpha=6\sin\alpha.$$

Warunek $P=3$ daje $\sin\alpha=\frac12$. Ponieważ kąt trójkąta należy do $(0^\circ;180^\circ)$, są dwa rozwiązania.

Z rozszerzonego twierdzenia sinusów dla kąta $\alpha$ naprzeciw boku $\sqrt{10}$:

$$\sqrt{10}=2\sqrt5\sin\alpha,$$

czyli $\sin\alpha=\frac{\sqrt2}{2}$. Kąt trójkąta leży w $(0^\circ;180^\circ)$.

a) $\sin^22x=\frac12$, więc $2x=\frac\pi4+\frac{k\pi}{2}$.

b) Po pomnożeniu przez $\sqrt5+2$ dostajemy $\cos^2(3x-\frac\pi4)=1$.

c) Równanie upraszcza się do $\operatorname{tg}^2\frac{3x+\pi}{4}=3$.

d) Ponieważ $\operatorname{ctg}\frac\pi3=\frac1{\sqrt3}$ i $\operatorname{tg}\frac\pi3=\sqrt3$, otrzymujemy $\operatorname{ctg}^2(\frac{x-1}{\pi}-\frac\pi3)=\frac13$.