MATeMAtyka 3. Zbiór zadań, strona 53 — rozwiązania zadań

Zadanie 2

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dla tangensa używamy $\operatorname{tg}u=c\iff u=\arctan c+k\pi$ , a dla cotangensa analogicznego wzoru z okresem $\pi$ . Następnie rozwiązujemy otrzymane równania liniowe względem $x$ .

Odpowiedź

a) $x=\frac{k\pi}{2}$ ; b) $x=\frac\pi6+\frac{k\pi}{3}$ ; c) $x=\frac\pi{12}+\frac{k\pi}{4}$ ; d) $x=-\frac\pi8+\frac{k\pi}{2}$ ; e) $x=\frac{2\pi}{3}+4k\pi$ ; f) $x=-\frac\pi6+k\pi$ , gdzie $k\in\mathbb Z$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Sprowadzamy argument każdej funkcji do odpowiedniego kąta szczególnego. Przykładowo $\sin(\pi x)=\frac12$ daje $\pi x=\frac\pi6+2k\pi$ lub $\frac{5\pi}{6}+2k\pi$ . Tak samo postępujemy w pozostałych podpunktach.

Odpowiedź

a) $x=\frac16+2k$ lub $x=\frac56+2k$ ; b) $x=\frac13+k$ lub $x=\frac23+k$ ; c) $x=\frac18+\frac{k}{2}$ ; d) $x=-1+3k$ , gdzie $k\in\mathbb Z$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Najpierw izolujemy funkcję trygonometryczną, a potem zapisujemy obie rodziny argumentów. Otrzymujemy kolejno $\sin5x=\frac{\sqrt2}{2}$ , $\cos4x=\frac{\sqrt3}{2}$ , $\sin\frac x2=-\frac{\sqrt2}{2}$ , $\cos\frac{3x}{4}=\frac12$ , $\sin4\pi x=\frac12$ i $\cos\frac{\pi x}{3}=\frac{\sqrt3}{2}$ .

Odpowiedź

a) $x=\frac\pi{20}+\frac{2k\pi}{5}$ lub $x=\frac{3\pi}{20}+\frac{2k\pi}{5}$ ; b) $x=\pm\frac\pi{24}+\frac{k\pi}{2}$ ; c) $x=-\frac\pi2+4k\pi$ lub $x=-\frac{3\pi}{2}+4k\pi$ ; d) $x=\pm\frac{4\pi}{9}+\frac{8k\pi}{3}$ ; e) $x=\frac1{24}+\frac k2$ lub $x=\frac5{24}+\frac k2$ ; f) $x=\pm\frac12+6k$ , gdzie $k\in\mathbb Z$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Po odjęciu wyrazów stałych i podzieleniu przez współczynnik funkcji otrzymujemy kolejno: $\operatorname{tg}3x=\sqrt3$ , $\operatorname{ctg}6x=-\frac{\sqrt3}{3}$ , $\operatorname{tg}5x=-\frac{\sqrt3}{3}$ , $\operatorname{ctg}\frac{\sqrt2x}{2}=0$ , $\operatorname{tg}(\pi\sqrt3x)=\sqrt3$ i $\operatorname{ctg}\frac{\pi x}{4}=-1$ . Rozwiązujemy sześć równań elementarnych.

Odpowiedź

a) $x=\frac\pi9+\frac{k\pi}{3}$ ; b) $x=-\frac\pi{18}+\frac{k\pi}{6}$ ; c) $x=-\frac\pi{30}+\frac{k\pi}{5}$ ; d) $x=\frac{\sqrt2\pi}{2}+k\sqrt2\pi$ ; e) $x=\frac{\sqrt3}{9}+\frac{k\sqrt3}{3}$ ; f) $x=-1+4k$ , gdzie $k\in\mathbb Z$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

W każdym podpunkcie izolujemy funkcję, oznaczamy jej argument przez $u$ i rozwiązujemy równanie elementarne. W e) dostajemy $\sin u=\frac12$ , gdzie $u=\frac{5\pi x}{8}-2$ , a w f) $\cos u=\frac12$ , gdzie $u=\frac{4\pi x+3}{5}$ .

Odpowiedź

a) $x=\frac\pi3+k\pi$ lub $x=\frac\pi2+k\pi$ ; b) $x=\frac\pi{12}+\frac{k\pi}{3}$ lub $x=\frac\pi6+\frac{k\pi}{3}$ ; c) $x=\pi+3k\pi$ lub $x=2\pi+3k\pi$ ; d) $x=\frac{8\pi}{9}+\frac{8k\pi}{3}$ lub $x=-\frac{4\pi}{3}+\frac{8k\pi}{3}$ ; e) $x=\frac{16}{5\pi}+\frac4{15}+\frac{16k}{5}$ lub $x=\frac{16}{5\pi}+\frac43+\frac{16k}{5}$ ; f) $x=-\frac3{4\pi}\pm\frac5{12}+\frac{5k}{2}$ , gdzie $k\in\mathbb Z$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem