MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 52

Kąt środkowy między kolejnymi wierzchołkami ma miarę $360^\circ:15=24^\circ$. Każdy rozpatrywany kąt wpisany jest połową miary łuku między jego ramionami, który nie zawiera wierzchołka kąta. Otrzymujemy kolejno kąty $156^\circ$, $132^\circ$, $120^\circ$, $96^\circ$, a w dwóch ostatnich podpunktach sumy $252^\circ$ i $168^\circ$. Redukujemy je do kątów z przedziału $[0^\circ;45^\circ]$.

Podstawiamy wartości funkcji kątów szczególnych.

a) $\frac{\sqrt2}{2}x-\sqrt3=-\frac{\sqrt2}{2}x+1$, więc $\sqrt2x=1+\sqrt3$.

b) Po pomnożeniu przez $3-\sqrt3$ dostajemy $3x-\frac32=\frac34(3-\sqrt3)$.

c) Równanie ma postać $x^2+\frac{2\sqrt3}{3}x-1=0$ i rozkłada się na dwa czynniki liniowe.

a) Ponieważ $\operatorname{ctg}194^\circ=\operatorname{ctg}14^\circ$, równanie sprowadza się do $\sin\alpha=\sin14^\circ$.

b) Stała po prawej stronie równania liniowego względem $\operatorname{tg}\alpha$ jest równa $\operatorname{tg}108^\circ$, więc $\alpha=108^\circ+180^\circ k$.

c) Po przekształceniu otrzymujemy $\operatorname{tg}^2\alpha=\operatorname{tg}^250^\circ$, stąd $\alpha=50^\circ+90^\circ k$. W każdym podpunkcie wybieramy kąty z $[-360^\circ;360^\circ]$.

W podpunktach a), b), e), f) rozwijamy sinus lub cosinus sumy bądź różnicy i podstawiamy wartości dla $45^\circ$ i $225^\circ$.

W c) dzielimy wzór na $\sin(45^\circ-\alpha)$ przez wzór na $\cos(45^\circ-\alpha)$ i następnie licznik oraz mianownik przez $\cos\alpha$. Podpunkt d) jest odwrotnością tej zależności. Identycznie postępujemy w g), h) dla kąta $225^\circ+\alpha$. Wszystkie przekształcenia wykonujemy wyłącznie w wspólnej dziedzinie obu stron.

a) Ze wzoru $\sin160^\circ=2\sin80^\circ\cos80^\circ$ i kolejnych wzorów podwojenia otrzymujemy $8\cos20^\circ\cos40^\circ\cos80^\circ=1$.

b) $4\sin10^\circ\cos10^\circ\cos20^\circ=\sin40^\circ>\frac12$.

c) $\operatorname{tg}70^\circ=\operatorname{ctg}20^\circ$, więc iloczyn jest równy $\operatorname{ctg}20^\circ>\frac12$.

d) $2\sin^225^\circ-1=-\cos50^\circ$ i $\sin320^\circ=-\sin40^\circ$, zatem wyrażenie jest równe $\operatorname{ctg}80^\circ<\frac12$.

a) Wspólna dziedzina wymaga $\sin x\cos x\ne0$. Wtedy

b) $\operatorname{ctg}(\frac{3\pi}{2}+x)=-\operatorname{tg}x$ i $\operatorname{tg}(\frac\pi2-x)=\operatorname{ctg}x$. Dla $t=\operatorname{tg}x$ lewa strona wynosi