MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 51

a) Kąty przy jednym ramieniu trapezu są dopełniające do $180^\circ$. Jeśli mają miary $\alpha$ i $180^\circ-\alpha$, to

$$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha.$$

b) Suma kątów czworokąta wynosi $360^\circ$. Jeśli jeden kąt ma miarę $\alpha$, suma pozostałych wynosi $360^\circ-\alpha$, a

$$\cos(360^\circ-\alpha)=\cos\alpha.$$

c) Kąty przeciwległe równoległoboku są równe, a sąsiednie dopełniają się do $180^\circ$. Równe kąty mają równe sinusy, a $\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha$.

Korzystamy z $\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha$, $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$ oraz

$$\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{ctg}\alpha=\frac1{\sin\alpha\cos\alpha}.$$

a) $\sin\alpha=-\frac{\sqrt6}{3}$ i $\cos\alpha=\pm\frac{\sqrt3}{3}$. Stąd $\cos2\alpha=-\frac13$, a znaki dwóch pozostałych wartości zależą od znaku cosinusa.

b) $-\cos\alpha=\frac{\sqrt{10}}4$, więc $\cos\alpha=-\frac{\sqrt{10}}4$ i $\sin\alpha=\pm\frac{\sqrt6}{4}$.

c) $\operatorname{ctg}(90^\circ+\alpha)=-\operatorname{tg}\alpha$, zatem $\operatorname{tg}\alpha=-\frac34$. Podstawienie do wzorów na podwojony kąt kończy rachunek.

Z $\operatorname{tg}\alpha=2$ i $\alpha\in(0;\frac\pi2)$ otrzymujemy

$$\sin\alpha=\frac{2\sqrt5}{5},\qquad \cos\alpha=\frac{\sqrt5}{5}.$$

Następnie redukujemy argumenty modulo $2\pi$ i stosujemy wzory redukcyjne, np. $\operatorname{tg}(\alpha-\frac\pi2)=-\operatorname{ctg}\alpha$.

Niech $y=x+\frac\pi4$. Wtedy $y\in(\frac\pi4;\frac\pi2)$, więc

$$\sin y=\frac34,\qquad \cos y=\frac{\sqrt7}{4}.$$

Ponieważ $2x=2y-\frac\pi2$, mamy

$$\sin2x=-\cos2y=\frac18,\qquad \cos2x=\sin2y=\frac{3\sqrt7}{8}.$$

Redukcja argumentów w podpunktach daje odpowiednio $-\sin2x$, $\cos2x$ i $-\operatorname{tg}2x$.

Sprowadzamy każdy argument do kąta wzorcowego. W podpunkcie e) skan strony potwierdza, że w mianowniku występuje $\operatorname{tg}\frac{2\pi}{3}$ (OCR błędnie odczytał mianownik ułamka jako $9$).

a) $\frac12-2(-\frac12)=\frac32$.

b) Licznik jest równy $-1$, a mianownik $\frac12$.

c) Licznik wynosi $8$, a mianownik $-2\sqrt3$.

d) Obie funkcje mają wartość $-\frac12$.

e) Licznik wynosi $-\frac12$, a mianownik $-\sqrt3-1$.

f) Licznik wynosi $-\frac32$, a mianownik $\frac{\sqrt6}{2}$.

a) $\sin85^\circ=\cos5^\circ$ i $\sin185^\circ=-\sin5^\circ$, więc suma kwadratów wynosi $1$.

b) $\sin214^\circ=-\sin34^\circ$ i $\cos146^\circ=-\cos34^\circ$, zatem prawa strona to $\frac12\sin68^\circ=\frac12\sin112^\circ$.

c) $\sin(-262^\circ)=\sin98^\circ=\cos8^\circ$, $\sin172^\circ=\sin8^\circ$ i $\operatorname{ctg}188^\circ=\operatorname{ctg}8^\circ$.

d) Lewa strona to $\cos^219^\circ$. Prawa jest równa $\sin^219^\circ+\cos38^\circ=\sin^219^\circ+1-2\sin^219^\circ=\cos^219^\circ$.

Stosujemy wzory na sumę funkcji.

a) $\sin290^\circ+\sin190^\circ=2\sin240^\circ\cos50^\circ<0$.

b) $\cos310^\circ-\cos160^\circ=-2\sin235^\circ\sin75^\circ>0$.

c) $\operatorname{tg}333^\circ+\operatorname{tg}99^\circ=\frac{\sin72^\circ}{\cos333^\circ\cos99^\circ}<0$.

d) $\operatorname{ctg}235^\circ+\operatorname{ctg}305^\circ=\frac{\sin540^\circ}{\sin235^\circ\sin305^\circ}=0$.

Z sumy kątów czworokąta mamy $\beta=270^\circ-3\alpha$. Stąd

$$\sin\beta=-\cos3\alpha,\qquad \cos\beta=-\sin3\alpha.$$

Po podstawieniu lewa strona przyjmuje postać

$$\frac{\cos\alpha-\cos3\alpha}{\sin\alpha+\sin3\alpha} =\frac{2\sin2\alpha\sin\alpha}{2\sin2\alpha\cos\alpha} =\operatorname{tg}\alpha,$$

wszędzie tam, gdzie wyjściowy iloraz jest określony.