MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 50

Redukujemy argumenty i porownujemy dokladne wartosci.

a) $\cos2850^\circ=\cos330^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$, a $\sin(-585^\circ)=\sin135^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$.

b) $\sin1590^\circ=\frac12$, a $\cos(-1830^\circ)=\frac{\sqrt3}{2}$.

c) $\operatorname{tg}(-1380^\circ)=\sqrt3$, a $\operatorname{tg}1410^\circ=-\frac{\sqrt3}{3}$.

d) $\operatorname{ctg}960^\circ=\frac{\sqrt3}{3}$, a $\operatorname{tg}(-435^\circ)=-(2+\sqrt3)$.

Redukujemy argumenty modulo $2\pi$ dla sinusa i cosinusa oraz modulo $\pi$ dla tangensa i cotangensa.

a) Otrzymujemy $\sin\frac{3\pi}{4}+\cos\frac{7\pi}{4}$.

b) Otrzymujemy $\sin\frac{5\pi}{3}+\cos\frac{5\pi}{3}$.

c) Otrzymujemy $\sin\frac{5\pi}{6}+\cos\frac{7\pi}{6}$.

d) Oba skladniki sa rowne $-1$.

e) Skladniki $\frac{\sqrt3}{3}$ i $-\frac{\sqrt3}{3}$ redukuja sie.

f) Otrzymujemy $\operatorname{tg}\frac\pi3+\operatorname{ctg}\frac\pi4$.

Redukujemy stale katy modulo okresu odpowiedniej funkcji i podstawiamy kolejno elementy zbioru $A$.

a) Dla $x=\frac{8\pi}{9}$ i $x=\frac{17\pi}{9}$ obie strony maja te sama wartosc; dla $x=\frac{50\pi}{9}$ sa rozne.

b) Dla wszystkich trzech kandydatow oba cosinusy sa rowne $0$.

c) Cotangensy sa rowne wtedy i tylko wtedy, gdy roznica argumentow jest wielokrotnoscia $\pi$. Spelnia to tylko $x=-\frac\pi7$.

Poniewaz $x$ lezy w II cwiartce, $\cos x=-\frac8{17}$. Stosujemy wzory redukcyjne:

$$\sin(\pi+x)=-\sin x, \quad \cos\left(x-\frac\pi2\right)=\sin x,$$ $$\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=-\cos x, \quad \operatorname{tg}(2\pi-x)=-\operatorname{tg}x.$$

W II cwiartce $\sin x=\frac{12}{13}$. Redukujemy przesuniecia do wielokrotnosci $\frac\pi2$:

$$\sin\left(\frac{7\pi}{2}+x\right)=-\cos x, \quad \cos(5\pi+x)=-\cos x,$$ $$\sin\left(x-\frac{7\pi}{2}\right)=\cos x, \quad \cos\left(x-\frac{5\pi}{2}\right)=\sin x,$$ $$\operatorname{tg}\left(\frac{11\pi}{2}+x\right)=-\operatorname{ctg}x, \quad \operatorname{ctg}\left(x-\frac{13\pi}{2}\right)=-\operatorname{tg}x.$$

Kazdy argument redukujemy do kata szczegolnego.

a) $\sin1005^\circ=-\sin75^\circ$, a $\sin75^\circ\sin15^\circ=\frac14$.

b) $\sin^2135^\circ=\cos^2135^\circ=\frac12$.

c) $\operatorname{tg}405^\circ=1$, $\operatorname{ctg}330^\circ=-\sqrt3$.

d) Pierwszy iloczyn jest $-1$, drugi $-\frac{\sqrt3}{2}$.

e) Otrzymujemy $-\frac{\sqrt3}{3}-\frac{\sqrt3}{2}$.

f) Oba iloczyny sa rowne $\frac{\sqrt3}{4}$.

a) $\cos55^\circ=\sin35^\circ$ i $\cos65^\circ=\sin25^\circ$, wiec iloraz wynosi $1$.

b) $\cos220^\circ=-\cos40^\circ$, $\sin230^\circ=-\sin50^\circ$, zatem po skroceniu pozostaje $\cos60^\circ=\frac12$.

c) $\operatorname{tg}50^\circ=\operatorname{ctg}40^\circ$, wiec iloczyn redukuje sie do $\operatorname{tg}30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}$.

d) $\operatorname{ctg}235^\circ=\operatorname{tg}35^\circ$, $\operatorname{tg}400^\circ=\operatorname{tg}40^\circ$ i $\operatorname{tg}570^\circ=\operatorname{tg}30^\circ$. Po skroceniu otrzymujemy $\frac1{\operatorname{tg}30^\circ}=\sqrt3$.